빈출 유형
곡선과 x축 사이의 넓이
절댓값이 포함된 함수
출제의도
이 문항은 절댓값 기호가 들어 있는 함수를 x≥0, x<0으로 나누어 그래프의 개형을 그리고, x축과 둘러싸인 부분의 구간을 정확히 찾아 정적분으로 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다.
그래프가 x=−2에서 x축과 만나고 x=−1, x=1에서 x축에 접한다는 것을 파악하는 것이 출발점입니다. 둘러싸인 구간 전체에서 y≥0이므로 넓이는 정적분 값 그대로이고, 식이 바뀌는 x=0에서 적분 구간을 나누는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
절댓값 기호가 있는 함수는 절댓값 안의 부호에 따라 식이 달라집니다. |x|는 x≥0일 때와 x<0일 때 각각 어떤 식이 되는지 먼저 정리해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x≥0일 때 y=(x−1)2(x+2), x<0일 때 y=(x+1)2(x+2)입니다.
제곱 인수가 있는 곳에서는 그래프가 x축에 접하고, 일차 인수가 있는 곳에서는 x축을 뚫고 지나갑니다. 각 식에서 x축과 만나거나 접하는 점을 찾아 개형을 그려 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
그래프는 x=−2, −1, 1에서 x축과 만나며, x≥−2에서 항상 y≥0입니다. 따라서 둘러싸인 부분은 −2≤x≤1이고, 식이 바뀌는 x=0을 경계로 ∫0−2(x+1)2(x+2)dx와 ∫10(x−1)2(x+2)dx를 각각 계산해 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1712
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A절댓값을 풀어 그래프 개형 그리기
x≥0일 때 y=(x−1)2(x+2), x<0일 때 y=(x+1)2(x+2)입니다. 그래프는 x=−2에서 x축과 만나고, x=−1과 x=1에서 x축에 접하며, x=0에서 y=2입니다.
STEP B둘러싸인 구간을 x=0에서 나누어 정적분 세우기
−2≤x≤1에서 y≥0이므로 넓이는 ∫0−2(x3+4x2+5x+2)dx+∫10(x3−3x+2)dx입니다.
STEP C각 정적분을 계산해 더하기
첫 번째 정적분은 23, 두 번째 정적분은 34이므로 넓이는 23+34=1712이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 평행이동으로 계산을 가볍게
그래프를 x축 방향으로 평행이동해도 넓이는 변하지 않습니다. 첫 번째 부분을 x축 방향으로 1만큼 평행이동하면 ∫0−2(x+1)2(x+2)dx=∫1−1x2(x+1)dx=∫1−1(x3+x2)dx가 됩니다. 이때 x3은 홀수 차수라 −1부터 1까지의 정적분이 0이고, x2만 남아 2∫10x2dx=23이 곧바로 나옵니다.
두 번째 부분도 x축 방향으로 −1만큼 평행이동하면 ∫10(x−1)2(x+2)dx=∫0−1x2(x+3)dx=∫0−1(x3+3x2)dx입니다. 부정적분 14x4+x3에서 0−(14−1)=34이므로 전개 과정 없이 넓이 1712을 얻습니다. 제곱 인수를 원점으로 옮기면 전개할 항이 줄어든다는 점을 기억해 두세요.
실수를 줄이는 전략
- 절댓값을 무시하고 전 구간을 (x−1)2(x+2) 하나로 계산하면 안 됩니다. x<0에서는 식이 (x+1)2(x+2)로 바뀌므로 반드시 x=0에서 구간을 나눕니다.
- −2≤x≤−1 부분의 작은 볼록한 영역을 빠뜨리고 −1부터 1까지만 적분하는 실수가 있습니다. 이 경우 43이 나오는데, 선택지에 없는 값이 나오면 그래프를 다시 확인하세요.
- (x+1)2(x+2)=x3+4x2+5x+2, (x−1)2(x+2)=x3−3x+2의 전개를 한 번 더 검산하세요. 특히 두 번째 식은 x2항이 사라진다는 점에 주의합니다.
- 아래끝이 −2인 정적분은 (0에서의 값)−(−2에서의 값)이므로 −2를 대입한 값의 부호를 뒤집어야 합니다. 4−323+10−4=−23이므로 첫 번째 정적분은 +23입니다.