고난도
정적분으로 정의된 함수
삼차함수의 그래프 추론
출제의도
이 문항은 f(x)의 음수 부분만 뒤집어 놓은 함수 g(x)를 적분했을 때 그 값이 어떻게 변하는지 읽어낼 수 있는지 확인합니다. 조건 (가)로 그래프의 모양을 좁히고, 조건 (나), (다)가 말하는 “적분값이 0 이하인 범위”와 “적분값이 최대가 되는 지점”을 f(x)의 근의 위치로 바꾸는 것이 핵심입니다.
g(x)는 항상 0 이상이므로 ∫x1g(t)dt는 x가 커질 때 줄어들지 않습니다. 이 사실을 붙잡으면 두 조건이 각각 f(x)의 근 3과 4를 알려준다는 것이 보입니다.
단계별 힌트
g(x)는 f(x)<0인 곳에서는 −f(x)>0이고, 나머지 곳에서는 0입니다. 즉 모든 x에서 g(x)≥0입니다. 그렇다면 ∫x1g(t)dt는 x가 커질수록 어떻게 변할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
G(x)=∫x1g(t)dt라 하면 G(1)=0이고 G′(x)=g(x)≥0이므로 G(x)는 감소하지 않습니다.
조건 (나)는 1≤x≤3에서 G(x)=0이고 x>3이면 G(x)>0이라는 뜻입니다. 곧 1≤x≤3에서 g(x)=0(f(x)≥0)이고, x=3을 지나자마자 f(x)<0이 됩니다.
조건 (다)는 G(x)가 x=4에서 처음으로 최댓값에 도달한다는 뜻입니다. 곧 4 바로 앞에서는 g(x)>0이고, x≥4에서는 g(x)=0입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
힌트 2단계에서 f(3)=0, f(4)=0이 나오므로 f(x)=(x−α)(x−3)(x−4)로 놓을 수 있습니다. 조건 (가)에서 f′(1)=0을 이용해 α를 구한 뒤 f(8)을 계산하세요. 구한 α가 1보다 작은지도 함께 확인하세요.
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정답 164
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 y=g(x)의 그래프 후보 나누기
f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 x=1에서 극대이므로, f(x)의 음수 부분을 x축 위로 뒤집은 y=g(x)의 그래프는 f(x)가 x축과 만나는 위치에 따라 (i)~(v)의 5가지 중 하나입니다.
STEP B조건 (나)로 경우를 걸러 β=3 얻기
(i), (ii)는 f(x)가 x축과 만나는 점을 α(α≠1)라 할 때 1<x<α에서 g(x)>0이므로 x>1이면 ∫x1g(t)dt>0입니다. 부등식을 만족하는 x의 최댓값이 1이 되어 조건에 맞지 않습니다.
(iii), (iv)는 x≥1에서 g(x)=0이므로 ∫x1g(t)dt=0이 계속되어 최댓값이 존재하지 않습니다.
(v)는 f(x)=(x−α)(x−β)(x−γ) (α<1<β<γ)로 놓으면 ∫β1g(t)dt=0이고 x>β이면 적분값이 양수이므로 β=3입니다.
STEP C조건 (다)로 γ=4 얻기
1<x<γ이면 ∫x1g(t)dt<∫γ1g(t)dt이고, x≥γ이면 g(x)=0이므로 ∫x1g(t)dt=∫γ1g(t)dt입니다. 따라서 적분값이 최대가 되는 a의 최솟값은 γ이고, γ=4입니다.
STEP Df′(1)=0으로 α를 구하고 f(8) 계산하기
f(x)=(x−α)(x2−7x+12)이므로 f′(x)=(x2−7x+12)+(x−α)(2x−7)입니다. f′(1)=6+(1−α)×(−5)=0에서 α=−15입니다.
따라서 f(8)=415×5×4=164입니다.
1등급 다른 풀이 · 적분값의 증가로 근을 바로 읽기
5가지 그래프를 모두 따지지 않고 끝내는 방법입니다. G(x)=∫x1g(t)dt라 하면 G(1)=0이고 G′(x)=g(x)≥0이므로 G(x)는 감소하지 않는 함수입니다. 이 한 가지 성질로 두 조건을 곧바로 f(x)의 부호 정보로 바꿀 수 있습니다.
조건 (나)에서 G(x)≤0인 x의 최댓값이 3이므로 G(3)=0이고 x>3이면 G(x)>0입니다. G가 감소하지 않으므로 1≤x≤3에서 G(x)=0, 곧 f(x)≥0이고, 3을 지나면 f(x)<0입니다. 따라서 f(3)=0입니다. 조건 (다)에서 G(x)는 x=4에서 처음 최댓값에 도달하므로 4 바로 앞에서 f(x)<0이고 x≥4에서 f(x)≥0입니다. 따라서 f(4)=0입니다.
이제 f(x)=(x−α)(x−3)(x−4)로 놓고 f′(1)=0에서 α=−15을 얻습니다. α<1이므로 1≤x≤3에서 f(x)≥0이라는 조건과도 맞고, f′(x)=0의 다른 근이 1보다 크므로 x=1이 극대라는 것도 확인됩니다. 조건을 “누적되는 넓이는 줄어들지 않는다”로 한 번 번역해 두면, 경우 나누기에서 빠뜨리는 그래프가 생길 걱정이 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)는 f(x)가 음수인 곳에서 −f(x)이므로 양수입니다. g(x)를 f(x)의 음수 부분 그대로라고 착각하면 적분값의 부호 판단이 모두 뒤집힙니다.
- x<1이면 ∫x1g(t)dt=−∫1xg(t)dt≤0이므로 조건 (나)의 부등식을 저절로 만족합니다. 조건 (나)의 핵심은 x>1 쪽에서 적분값이 언제 양수가 되는지입니다.
- 조건 (다)의 a는 적분값이 최대가 되는 지점 중 가장 작은 값입니다. x≥4에서는 적분값이 일정하므로 4보다 큰 a도 부등식을 만족하지만, 최솟값이 4라는 점에서 γ=4가 결정됩니다.
- f′(1)을 계산할 때 12−7+12=6과 2−7=−5의 부호를 확인하세요. 6−5(1−α)=0에서 1−α=65이므로 α=−15입니다.
- f(8)에서 첫 번째 인수는 8−α=8+15=415입니다. α의 부호를 그대로 빼서 8−15로 쓰지 않도록 주의하세요.
엄선된 풀이 영상
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