빈출 유형
정적분으로 정의된 함수
미분과 적분의 관계
출제의도
이 문항은 적분 구간에 변수 x가 들어 있는 등식 ∫x−1f(t)dt=3x3+ax2+5를 다루는 두 가지 기본 조작을 적용할 수 있는지 확인합니다. 아래끝을 대입하면 좌변이 0이 되고, 양변을 미분하면 좌변이 f(x)가 됩니다.
x=−1을 대입해 a를 먼저 구하고, 양변을 미분해 f(x)를 구하는 두 단계를 순서대로 연결하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
정적분의 위끝과 아래끝이 같으면 그 값은 얼마일까요? 또 ∫x−1f(t)dt를 x에 대하여 미분하면 무엇이 되는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
양변에 x=−1을 대입하면 좌변은 0이 되므로 a에 대한 방정식이 나옵니다.
양변을 x에 대하여 미분하면 좌변은 f(x)가 되므로 f(x)=9x2+2ax입니다. 우변의 상수 5는 미분하면 사라집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a의 값을 구해 f(x)를 완성한 뒤 x=a를 대입하세요. a가 음수로 나오므로 f(a)를 계산할 때 일차항의 부호를 조심하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 44
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A아래끝 x=−1을 대입해 a 구하기
양변에 x=−1을 대입하면 좌변은 0이므로 0=−3+a+5이고, a=−2입니다.
STEP B양변을 미분해 f(x) 구하기
양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=9x2+2ax=9x2−4x입니다.
STEP Cf(a)=f(−2) 계산하기
f(−2)=9×4−4×(−2)=36+8=44이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 미분 먼저, f(a)를 a만의 식으로
양변을 먼저 미분하면 f(x)=9x2+2ax이므로 x=a를 대입하면 f(a)=9a2+2a2=11a2입니다. 이제 x=−1 대입으로 얻은 a=−2를 넣으면 f(a)=11×4=44입니다.
f(a)가 a2만의 식이 되므로 음수를 대입하는 과정에서 생기는 부호 실수가 원천적으로 사라집니다. 검산이 필요하면 ∫x−1(9t2−4t)dt=3x3−2x2+5를 직접 계산해 상수항이 5로 맞는지 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌변을 0으로 만드는 값은 x=0이 아니라 아래끝 x=−1입니다. 적분 구간의 아래끝을 먼저 확인하세요.
- ∫x−1f(t)dt를 x에 대하여 미분하면 f(t)가 아니라 f(x)입니다. 우변의 상수항 5는 미분하면 0이 됩니다.
- f(−2)를 계산할 때 −4x에 −2를 대입하면 +8입니다. 36−8=28로 계산하는 부호 실수에 주의하세요.
- 이 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 특정 값 대입과 양변 미분을 모두 쓸 수 있습니다. 두 조작이 각각 무엇을 알려 주는지 구분해 두면 비슷한 유형을 빠르게 풀 수 있습니다.