빈출 유형
부정적분과 적분상수
대칭 구조 활용
출제의도
이 문항은 f(x)의 부정적분 F(x)를 미정계수 a와 적분상수 C가 포함된 식으로 나타내고, 주어진 두 조건으로 a와 C를 결정할 수 있는지 확인합니다.
F(1)+F(−1)에서는 홀수차항이 지워져 C만 남고, F(2)−F(−2)에서는 짝수차항과 C가 지워져 a만 남는다는 구조를 알아차리는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
F(x)는 f(x)를 부정적분한 함수입니다. 먼저 F(x)를 a와 적분상수 C가 포함된 식으로 써 보세요. 모르는 값은 a, C 두 개이고 주어진 조건도 두 개입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
F(x)=x4+a3x3+5x+C입니다. x와 −x를 넣어 더하면 홀수차항 a3x3, 5x가 지워지고, 빼면 짝수차항 x4와 상수 C가 지워집니다.
따라서 첫 번째 조건 F(1)+F(−1)=6으로 C를, 두 번째 조건 F(2)−F(−2)=4로 a를 각각 따로 구할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
2(1+C)=6에서 C를, 2(83a+10)=4에서 a를 구하세요. 마지막에 구하는 값은 F(a)이므로 구한 a 값을 F(x)의 x 자리에 대입해야 합니다. a의 부호에 주의하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 95
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A부정적분으로 F(x) 세우기
F(x)=∫(4x3+ax2+5)dx=x4+a3x3+5x+C (C는 적분상수)입니다.
STEP B두 조건으로 C와 a 구하기
F(1)+F(−1)=2(1+C)=6에서 C=2입니다. F(2)−F(−2)=2(83a+10)=4에서 83a=−8이므로 a=−3입니다.
STEP CF(a)=F(−3) 계산하기
F(x)=x4−x3+5x+2이므로 F(−3)=81+27−15+2=95이고, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 정적분의 대칭성으로 a 바로 구하기
F(x)가 f(x)의 부정적분이므로 F(2)−F(−2)=∫2−2f(x)dx입니다. 적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로 홀수차항 4x3의 적분값은 0이 되고, 짝수차항은 0부터 2까지 적분한 값의 2배가 됩니다.
즉 2∫20(ax2+5)dx=2(83a+10)=4에서 a=−3이 곧바로 나옵니다. F(x)의 식을 x=2, −2에 각각 대입해 괄호를 전개하는 과정이 줄어들어 부호 실수의 여지도 함께 줄어듭니다. C는 F(x)의 짝수차항이 x4와 C뿐이라는 점에서 F(1)+F(−1)=2(1+C)로 바로 구할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- F(−1)을 계산할 때 a3·(−1)3=−a3, 5·(−1)=−5입니다. 홀수차항의 부호를 바꾸는 것을 놓치지 마세요.
- F(1)+F(−1)에서는 적분상수가 2C로 남고, F(2)−F(−2)에서는 C가 지워집니다. 두 식에서 C가 어떻게 처리되는지 구분하세요.
- ax2을 적분하면 a3x3입니다. 계수 a를 3으로 나누는 것을 빠뜨리면 a의 값이 틀어집니다.
- 구하는 값은 F(3)이 아니라 F(a)=F(−3)입니다. (−3)4=81, −(−3)3=+27, 5·(−3)=−15처럼 항마다 부호를 확인하며 대입하세요.