수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(2) Level 2 4번

04
빈출 유형

05 도함수의 활용(2)
모든 실수에서 성립하는 부등식
절댓값을 포함한 함수

출제의도

이 문항은 “모든 실수 x에 대하여 성립하는 부등식”을 한쪽으로 모아 새 함수의 최솟값 문제로 바꿀 수 있는지 확인합니다. k를 오른쪽에 두고 g(x)=f(x)+|f(x)+1|−6x라 하면, 구하는 k의 최댓값은 g(x)의 최솟값과 같습니다.

절댓값을 벗기기 위해 f(x)+1을 인수분해해 부호를 판정하는 것이 두 번째 관문이고, 구간별로 정리한 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 최솟값을 찾는 것으로 마무리합니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

부등식에서 x가 들어 있는 항을 모두 왼쪽으로 옮기면 “(x에 대한 식)≥k”의 꼴이 됩니다. 이 부등식이 모든 실수 x에서 성립하려면 k는 왼쪽 식의 어떤 값보다 크지 않아야 할까요?

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

g(x)=f(x)+|f(x)+1|−6x라 하면 모든 실수 x에 대하여 g(x)≥k가 성립해야 하므로 k≤(g(x)의 최솟값)입니다.

절댓값을 벗기려면 f(x)+1의 부호를 알아야 합니다. f(x)+1=13x³−x²+43에 x=−1을 대입하면 0이 되므로 x+1을 인수로 가집니다. 인수분해한 뒤 어느 구간에서 0 이상인지 확인해 보세요.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

f(x)+1=13(x+1)(x−2)²이므로 x≤−1과 x>−1로 나누어 g(x)를 정리하세요. x>−1에서 g′(x)=0이 되는 x를 찾아 증감표를 그리면 최솟값이 보입니다. 마지막으로 −qp의 꼴에서 p+q를 구하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 52

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(2) Level 2 4번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A부등식을 최솟값 문제로 바꾸기

주어진 부등식은 f(x)+|f(x)+1|−6x≥k와 같습니다. g(x)=f(x)+|f(x)+1|−6x라 하면 모든 실수 x에 대하여 g(x)≥k가 성립해야 하므로, 구하는 k의 최댓값은 g(x)의 최솟값입니다.

STEP Bf(x)+1의 부호로 절댓값 벗기기

f(x)+1=13(x+1)(x−2)²이므로 x≤−1이면 f(x)+1≤0, x>−1이면 f(x)+1≥0입니다. 따라서 x≤−1일 때 g(x)=−6x−1이고, x>−1일 때 g(x)=2f(x)+1−6x=23x³−2x²−6x+53입니다.

STEP C증감표로 최솟값 찾고 p+q 구하기

x<−1에서 g′(x)=−6<0이고, x>−1에서 g′(x)=2x²−4x−6=2(x−3)(x+1)이므로 g(x)는 x<3에서 감소하다가 x>3에서 증가합니다. 따라서 최솟값은 g(3)=18−18−18+53=−493이고, k의 최댓값이 −493이므로 p=3, q=49, p+q=52입니다.

1등급 다른 풀이 · 그래프와 직선의 위치 관계로 보기

A+|B|는 B≥0일 때 A+B, B<0일 때 A−B입니다. 여기서 A=f(x), B=f(x)+1이므로 왼쪽 식은 f(x)+1≥0일 때 2f(x)+1이고, f(x)+1<0일 때 −1입니다. 즉 y=f(x)+|f(x)+1|의 그래프는 x≤−1에서 수평선 y=−1, x>−1에서 곡선 y=2f(x)+1인 모양이고, 부등식은 이 그래프가 기울기 6인 직선 y=6x+k보다 항상 위(또는 접함)에 있어야 한다는 뜻입니다.

곡선 y=2f(x)+1 위에서 접선의 기울기가 6인 점은 2f′(x)=2x²−4x=6에서 x=3 또는 x=−1입니다. 직선을 아래에서 위로 올려 보면 먼저 x=3인 점 (3, 53)에서 곡선에 닿으므로 53=18+k에서 k=−493입니다. 이 직선은 x≤−1에서 y≤−6−493이므로 수평선 y=−1보다 아래에 있어 조건을 만족합니다. 식을 구간별로 나누지 않고도 “기울기가 정해진 직선이 그래프 아래에서 처음 닿는 순간”으로 답을 얻을 수 있어, 검산용으로도 좋습니다.

실수를 줄이는 전략

“모든 x에 대하여 g(x)≥k”에서 k의 최댓값은 g(x)의 최댓값이 아니라 최솟값입니다. 부등호 방향과 함께 무엇의 최솟값인지 먼저 적어 두세요.
f(x)+1=13(x+1)(x−2)²에서 (x−2)²은 제곱이므로 x=2에서 부호가 바뀌지 않습니다. x=2를 경계로 구간을 또 나누면 계산만 늘어나고 실수가 생깁니다.
x≤−1에서는 f(x)가 소거되어 g(x)=−6x−1인 감소하는 일차함수가 됩니다. 이 구간의 값은 g(−1)=5 이상이므로 최솟값 후보가 아니라는 점을 확인하고 넘어가세요.
g(3)을 계산할 때 23×27=18, 2×9=18, 6×3=18이 연달아 나와 부호를 섞기 쉽습니다. 18−18−18=−18이고 −18+53=−493입니다.
−qp의 꼴이므로 분모가 p, 분자가 q입니다. p=49, q=3으로 바꿔 쓰지 않도록 주의하세요. 합은 같지만 습관이 되면 다른 문제에서 틀립니다.

엄선된 풀이 영상

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