고난도
구간별로 정의된 함수의 극값
근과 계수의 관계
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 연속함수에서 극값을 갖는 점의 개수를 구간마다 따져, 경계점 x=0에서도 극값을 가져야 한다는 사실을 스스로 찾아낼 수 있는지 확인합니다. 미분가능하지 않은 점에서도 극값이 생길 수 있다는 점이 첫 번째 관문입니다.
그다음 등차수열 조건으로 극값점을 공차 d 하나로 나타내고, 근과 계수의 관계로 d와 a를 결정합니다. 이차함수의 대칭성과 최댓값 조건으로 f(x)를 완성하는 것까지 여러 단원의 도구를 순서대로 연결하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
g(x)는 x≤0에서 삼차함수, x>0에서 이차함수입니다. 삼차함수 부분과 이차함수 부분에서 극값을 갖는 점이 각각 최대 몇 개까지 가능한지 세어 보고, 극값을 갖는 점이 모두 4개라는 조건과 비교해 보세요.
또 g(x)가 연속이므로 x=0에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다. 이 조건에서 f(0)의 값이 정해집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
삼차함수 부분에서 최대 2개, 이차함수 부분에서 최대 1개이므로 나머지 한 개는 경계점 x=0이어야 합니다. 즉 α1<α2<α3=0<α4입니다.
네 수가 등차수열을 이루므로 공차를 양수 d라 하면 α1=−2d, α2=−d, α4=d로 쓸 수 있습니다. x<0에서 g′(x)=−3x2+2ax−6=0의 두 근이 −2d, −d라는 사실을 이용하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 근의 곱으로 d를, 두 근의 합으로 a를 구합니다. α4=d에서 f′(d)=0이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=d에 대하여 대칭이고, f(0)=0이면 f(2d)=0입니다. 따라서 f(x)=bx(x−2d) 꼴로 놓을 수 있습니다.
닫힌구간 [α1, α4]에서 최댓값의 후보는 두 극댓값 g(α2), g(α4)뿐입니다. 두 값을 3과 비교해 b를 정한 뒤, x=−3은 삼차식에, x=3은 f(x)에 대입하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −812
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 f(0) 구하기
x→0−일 때 −x3+ax2−6x는 0으로 가고 g(0)=0이므로, 연속이 되려면 limx→0+f(x)=f(0)=0이어야 합니다.
STEP B극값점의 개수로 α3=0 찾기
x<0에서 극값을 갖는 점은 2개 이하, x>0에서는 1개 이하입니다. 모두 4개이므로 x=0에서도 극값을 가져야 하고, α1=−2d, α2=−d, α3=0, α4=d (d>0)입니다.
STEP C근과 계수의 관계로 d, a 구하기
3x2−2ax+6=0의 두 근이 −2d, −d이므로 두 근의 곱에서 2d2=2, 즉 d=1입니다. 두 근의 합에서 −3=2a3이므로 a=−92입니다.
STEP D대칭성으로 f(x)의 꼴 정하기
f′(1)=0이므로 y=f(x)의 그래프는 직선 x=1에 대하여 대칭이고, f(0)=0이므로 f(2)=0입니다. x=0에서 극값을 가지려면 [−1, 0]에서 감소한 뒤 [0, 1]에서 증가해야 하므로 그래프는 위로 볼록합니다. 따라서 f(x)=bx(x−2) (b<0)입니다.
STEP E최댓값 조건으로 b 구하기
[−2, 1]에서 최댓값의 후보는 g(−1)=1−92+6=52와 g(1)=f(1)=−b입니다. 52는 3이 아니므로 −b=3, 즉 b=−3입니다.
STEP Fg(−3)×g(3) 계산하기
g(−3)=27−812+18=92, g(3)=−3×3×1=−9이므로 g(−3)×g(3)=−812입니다. 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 인수 꼴 계수비교와 꼭짓점 꼴
g′(x)=0의 두 근이 −2d, −d이고 x2의 계수가 −3이므로 처음부터 g′(x)=−3(x+2d)(x+d)=−3x2−9dx−6d2으로 놓을 수 있습니다. −3x2+2ax−6과 계수를 비교하면 상수항에서 −6d2=−6이므로 d=1이고, x의 계수에서 2a=−9d이므로 a=−92가 한 번에 나옵니다.
f(x)도 꼭짓점 꼴로 바로 정할 수 있습니다. g(−1)=52<3이므로 최댓값 3은 x=1에서의 값이고, 이차함수 y=f(x)의 꼭짓점은 (1, 3)입니다. f(x)=p(x−1)2+3에 f(0)=0을 대입하면 p=−3이므로 g(3)=f(3)=−3×4+3=−9입니다. b를 따로 두지 않아도 되어 계산이 짧아집니다.
실수를 줄이는 전략
- 극값은 미분계수가 0인 점에서만 생기는 것이 아닙니다. 연속함수의 뾰족한 점처럼 미분가능하지 않은 점에서도 증가와 감소가 바뀌면 극값을 갖습니다. x=0을 빼고 세면 극값점이 3개밖에 나오지 않아 막히게 됩니다.
- 등차수열의 순서를 확인하세요. α3=0이므로 공차 d에 대해 α1=−2d, α2=−d, α4=d입니다. α1=−d처럼 한 칸 밀려 쓰면 d가 달라집니다.
- b의 부호는 x=0에서 극값을 가져야 한다는 조건에서 결정됩니다. b>0이면 x=0의 양쪽에서 모두 감소하므로 x=0에서 극값을 갖지 않습니다.
- 최댓값 3을 g(−1)로 놓으면 안 됩니다. g(−1)=52로 이미 값이 정해져 있으므로 최댓값 3은 g(1)에서만 나올 수 있습니다.
- 마지막에 x=−3은 x≤0의 식에, x=3은 f(x)에 대입해야 합니다. 대입할 식을 바꿔 쓰는 실수가 자주 나옵니다.
엄선된 풀이 영상
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