고난도
구간 최솟값 함수 g(t)
사차함수의 그래프 개형
출제의도
이 문항은 “x≤t에서 f(x)의 최솟값”으로 정의된 함수 g(t)의 그래프를 f(x)의 그래프 개형과 연결해 해석할 수 있는지 확인합니다. f(x)가 감소하는 동안에는 g(t)=f(t)이고, 최솟값을 한 번 지나면 g(t)는 그 값으로 일정해진다는 원리가 출발점입니다.
g′(t)=0이 되는 t의 집합이 {0}∪{t | t≥1}이라는 조건에서 x=0은 극값이 아닌 정류점(접선이 수평인 변곡점)이고 x=1은 최솟점이라는 사실을 읽어 내는 것이 핵심입니다. 이 개형을 f(x)=x3(x−α)+f(0)이라는 식으로 옮기면 계산은 짧게 끝납니다.
단계별 힌트
t를 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이며 g(t)를 그려 보세요. f(x)가 계속 감소하는 동안에는 가장 오른쪽 값 f(t)가 최솟값이고, f(x)가 다시 증가하기 시작하면 최솟값은 더 이상 바뀌지 않습니다. 그렇다면 g′(t)=0이 t≥1 전체에서 성립한다는 것은 f(x)의 그래프에서 무엇을 뜻할까요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
t≥1에서 g(t)가 일정하므로 f(x)는 x=1에서 최솟값을 갖고, g(t)가 t=1에서 미분가능하므로 f′(1)=0입니다.
반면 t=0에서는 g′(0)=0이 한 점에서만 성립합니다. 만약 x=0에서 f(x)가 극소가 된다면 g(t)는 t=0 이후 한동안 일정해져서 g′(t)=0인 t가 구간으로 생깁니다. 따라서 x=0에서는 f′(0)=0이지만 f(x)가 감소를 멈추지 않는, 접선이 수평인 변곡점이어야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x=0이 접선이 수평인 변곡점이면 직선 y=f(0)은 곡선 y=f(x)와 x=0에서 세 번 겹쳐 만납니다. 나머지 교점의 x좌표를 α(α>0)라 하면 f(x)=x3(x−α)+f(0)으로 놓을 수 있습니다. f′(1)=0으로 α를 구한 뒤 f(2)−f(0)을 계산하세요. f(0)의 값은 몰라도 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 163
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(t)의 그래프를 f(x)의 개형과 연결하기
f(x)가 감소하는 구간에서는 g(t)=f(t)이고, f(x)가 최솟값을 가진 뒤에는 g(t)가 그 최솟값으로 일정합니다. g′(t)=0이 t≥1 전체에서 성립하므로 f(x)는 x=1에서 최솟값을 갖고, g(t)가 t=1에서 미분가능하므로 f′(1)=0입니다.
STEP Bx=0의 의미를 해석해 식 세우기
g′(t)=0이 t=0 한 점에서만 성립하므로 f′(0)=0이지만 x=0의 좌우에서 f(x)는 계속 감소합니다. 즉 점 (0, f(0))은 접선이 수평인 변곡점이므로, 직선 y=f(0)과 곡선 y=f(x)의 양수인 교점을 x=α라 하면 f(x)=x3(x−α)+f(0)=x4−αx3+f(0)입니다.
STEP Cf′(1)=0으로 α 구하고 f(2)−f(0) 계산하기
f′(x)=4x3−3αx2에서 f′(1)=4−3α=0이므로 α=43입니다. 따라서 f(2)−f(0)=16−43×8=16−323=163이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 도함수를 인수 꼴로 먼저 놓기
개형을 f′(x)의 부호로 바꿔 생각하면 식을 더 직접적으로 세울 수 있습니다. f′(0)=0이지만 x=0의 좌우에서 f′(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 x=0은 방정식 f′(x)=0의 중근이고, f′(1)=0이며 x=1에서 부호가 음에서 양으로 바뀝니다. 최고차항의 계수가 1인 사차함수의 도함수는 최고차항의 계수가 4이므로 f′(x)=4x2(x−1)=4x3−4x2입니다.
f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d로 놓으면 f′(x)=4x3+3ax2+2bx+c이므로 계수를 비교해 a=−43, b=c=0입니다. 따라서 f(2)−f(0)=16+8a=16−323=163입니다. 이 방법은 “도함수가 0이 되는 점에서 부호가 바뀌는지”로 극값과 변곡점을 구분하는 습관을 그대로 식으로 옮긴 것이어서, 비슷한 개형 추론 문제에 폭넓게 쓸 수 있습니다. 적분 단원을 배우고 나면 f(2)−f(0)을 f′(x)의 정적분으로 바로 계산할 수도 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- g′(0)=0만 보고 x=0에서 f(x)가 극소라고 판단하면 안 됩니다. 그 경우 g(t)는 t=0 이후 일정한 구간이 생겨 g′(t)=0인 t가 {0} 한 점이 아니게 됩니다. “한 점에서만 0″이라는 조건이 곧 변곡점이라는 신호입니다.
- t≥1에서 g′(t)=0이라는 조건에서 f′(1)=0을 끌어내는 것을 놓치기 쉽습니다. g(t)가 t=1에서 미분가능하려면 왼쪽에서 본 기울기 f′(1)이 오른쪽 기울기 0과 같아야 합니다.
- f(0)의 값을 따로 구하려고 할 필요가 없습니다. 구하는 값이 f(2)−f(0)이므로 상수항은 계산 과정에서 저절로 사라집니다.
- f(2)를 계산할 때 x3(x−α)에 x=2를 대입하면 8(2−α)=16−8α입니다. α=43을 넣어 16−323=163이 되는지 통분까지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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