빈출 유형
닫힌구간에서의 최대·최소
최솟값 조건과 미정계수
출제의도
이 문항은 미정계수 a가 포함된 삼차함수에서 주어진 최솟값 조건으로 a를 결정하고, 그 결과로 최댓값을 구할 수 있는지 확인합니다.
a는 그래프를 위아래로 평행이동시키는 상수이므로 최대·최소가 나오는 위치에는 영향을 주지 않습니다. 위치를 먼저 확정한 뒤 a를 구하는 순서가 핵심입니다.
단계별 힌트
a가 있어도 f′(x)에는 a가 남지 않습니다. 그렇다면 구간 [1, 3]에서 함수가 어디서 감소하고 어디서 증가하는지는 a와 관계없이 먼저 알 수 있지 않을까요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)에서 구간 [1, 3] 안에 있는 극값 후보를 찾으세요.
구간 양 끝점과 극값 후보에서의 함숫값을 a를 포함한 식으로 나타내면, 어느 것이 최솟값인지 판단할 수 있습니다. 그 값을 −10으로 놓으면 a가 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(1), f(2), f(3)을 a에 대한 식으로 쓰고 최솟값=−10에서 a를 구한 다음, 나머지 후보 중 큰 값을 계산하세요. 묻는 값이 a가 아니라 최댓값이라는 점도 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A구간 안의 극값 후보 찾기
f′(x)=6(x+1)(x−2)이므로 1<x<3에서 f′(x)=0인 x는 2뿐입니다. x=−1은 구간 밖입니다.
STEP B증가와 감소표 만들기
1<x<2에서 감소, 2<x<3에서 증가합니다. f(1)=a−13, f(2)=a−20, f(3)=a−9입니다.
STEP C최솟값 조건으로 a 구하기
최솟값은 x=2에서의 a−20이므로 a−20=−10, a=10입니다.
STEP D최댓값 구하기
최댓값은 양 끝값 a−13과 a−9 중 큰 값인 f(3)=a−9=10−9=1이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · a를 구하지 않고 차이로 바로
a는 모든 함숫값에 똑같이 더해지는 상수이므로, 최댓값과 최솟값의 차는 a와 관계없이 일정합니다. 증가와 감소표에서 최댓값은 f(3), 최솟값은 f(2)이므로 차이는 (a−9)−(a−20)=11입니다.
따라서 최댓값=최솟값+11=−10+11=1이 곧바로 나옵니다. a=10을 구해 다시 대입하는 과정을 생략할 수 있고, 조건이 최솟값 대신 최댓값으로 주어지는 변형 문항에도 그대로 쓸 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)=0의 해 x=−1은 구간 [1, 3] 밖에 있으므로 후보에서 제외합니다.
- 양 끝값 중 어느 쪽이 최댓값인지 직접 비교해야 합니다. 시작점 f(1)을 무심코 최댓값으로 잡으면 a−13=−3이 되어 오답입니다.
- f(2)=16−12−24+a처럼 항이 많을 때 부호 실수가 잦습니다. 상수 부분을 먼저 계산한 뒤 a를 붙이면 깔끔합니다.
- a=10을 구한 뒤 멈추지 마세요. 묻는 값은 함수 f(x)의 최댓값입니다.