고난도
접선의 방정식
점과 직선 사이의 거리
삼차함수의 그래프
출제의도
이 문항은 세 선분으로 둘러싸인 도형의 넓이 g(t)를 점과 직선 사이의 거리로 식으로 나타내고, 조건 (가), (나)를 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 기울기가 −1인 직선들 사이의 위치 관계로 바꿔 읽을 수 있는지 확인합니다.
g(t)=|f(t)+t+1|2를 얻는 것이 출발점이고, “g(p)=1이면서 접한다”는 조건을 “곡선 y=f(x)가 기울기 −1인 직선 l과 x=p에서 접한다”로 번역하는 것이 핵심입니다. 직선 AB와 직선 l, 직선 y=−x+32가 모두 기울기 −1로 평행하다는 점이 문제 전체를 관통합니다.
단계별 힌트
세 선분 AB, AP, BP로 둘러싸인 도형은 선분 AB를 밑변으로 하는 삼각형입니다. 높이는 점 P(t, f(t))와 직선 AB 사이의 거리이므로, 직선 AB의 방정식을 먼저 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식으로 g(t)를 t에 대한 식으로 나타내 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
직선 AB는 x+y+1=0이고, g(t)=|f(t)+t+1|2입니다.
조건 (가)는 곡선 y=f(x)와 직선 y=−x−1의 교점이 1개라는 뜻입니다. 조건 (나)의 g(p)=1은 점 C(p, f(p))와 직선 AB 사이의 거리가 일정한 값이라는 뜻이고, 곡선 y=g(x)가 y=1에 접하므로 곡선 y=f(x)는 직선 AB와 평행한(기울기 −1인) 직선 l과 점 C에서 접합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
삼각형 ABC의 넓이가 1이라는 사실로 직선 l의 y절편을 구하면 직선 l의 방정식이 나옵니다. 그다음 f(x)−(직선 l의 식)=(x−p)2(x−a)로 놓고 f(0)=1을 이용해 a를 구하세요.
마지막으로 f′(x)=−1을 풀면 x=p와 또 하나의 해가 나옵니다. x=p는 직선 l의 접점이므로, 나머지 해가 직선 y=−x+32의 접점입니다. 이 점을 직선 위에 대입하면 p가 결정됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(t)를 식으로 나타내기
AB=√2이고 직선 AB의 방정식은 x+y+1=0입니다. 점 P와 직선 AB 사이의 거리는 |f(t)+t+1|√2이므로 g(t)=12×√2×|f(t)+t+1|√2=|f(t)+t+1|2입니다.
STEP B조건 (가), (나)를 그래프로 해석하기
g(t)=0 ⇔ f(t)=−t−1이므로 조건 (가)에 의해 곡선 y=f(x)와 직선 y=−x−1은 한 점에서만 만납니다. 그 점의 x좌표를 q라 하면 q는 음수입니다. 조건 (나)에 의해 곡선 y=f(x)는 기울기가 −1이고 점 C(p, f(p))를 지나는 직선 l과 점 C에서 접합니다.
STEP C넓이 조건으로 직선 l과 f(x) 구하기
직선 l이 y축과 만나는 점을 D(0, k)라 하면 직선 l과 직선 AB가 평행하므로 삼각형 ABC와 삼각형 ABD의 넓이는 같습니다. g(p)=1이므로 12×1×(k+1)=1에서 k=1, 즉 직선 l은 y=−x+1입니다.
f(x)−(−x+1)=(x−p)2(x−a)로 놓으면 f(0)=1에서 p2a=0이고 p>0이므로 a=0입니다. 따라서 f(x)=x(x−p)2−x+1입니다.
STEP D직선 y=−x+32와의 접점으로 p 구하기
f′(x)=3x2−4px+p2−1=−1에서 (x−p)(3x−p)=0이므로 x=p 또는 x=p3입니다. x=p는 직선 l의 접점이므로 직선 y=−x+32의 접점의 x좌표는 p3입니다.
f(p3)=−p3+32에 대입하면 p3=278이고, p는 실수이므로 p=32입니다.
STEP Eg(32) 계산하기
f(x)=x(x−32)2−x+1에서 f(32)=−12이므로 g(32)=|−12+32+1|2=22=1이고, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)+x를 한 함수로 보기
세 직선 AB, l, y=−x+32가 모두 기울기 −1이므로 F(x)=f(x)+x로 놓고 생각하면 훨씬 간단해집니다. 곡선 y=f(x)가 기울기 −1인 직선에 접하는 점은 F′(x)=0인 점, 즉 F(x)의 극점과 같습니다. 이때 g(x)=|F(x)+1|2이고 F(0)=f(0)=1입니다.
F(0)+1=2>0이고 조건 (가)에서 F(x)+1=0의 실근이 음수 q 하나뿐이므로, x>q에서 F(x)+1>0입니다. 따라서 조건 (나)는 F(x)가 x=p에서 극솟값 1을 가진다는 뜻입니다. F(0)=F(p)=1이고 x=p에서 중근을 가지므로 곧바로 F(x)−1=x(x−p)2, 즉 F(x)=x(x−p)2+1을 얻습니다. 넓이 조건으로 k를 구하는 과정을 건너뛸 수 있습니다.
곡선이 직선 y=−x+32에 접한다는 것은 F(x)가 극댓값 32를 가진다는 뜻입니다. x(x−p)2은 x=p3에서 극댓값 4p327을 가지므로 4p327+1=32에서 p=32입니다. 결국 구하는 값 g(32)는 g(p)이므로 조건 (나)에 의해 계산 없이 1임을 알 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- g(p)=1에서 |f(p)+p+1|=2가 되는데, 절댓값을 풀 때 부호를 확인해야 합니다. f(0)+0+1=2>0이고 p는 q보다 오른쪽에 있으므로 f(p)+p+1=2입니다. 이 부호 판단을 건너뛰면 직선 l을 y=−x−3으로 잘못 잡을 수 있습니다.
- f′(x)=−1의 두 해 x=p, x=p3 중 어느 것이 어떤 직선의 접점인지 구분하세요. x=p는 직선 l(y=−x+1)의 접점이고, 직선 y=−x+32의 접점은 x=p3입니다.
- f(x)−(−x+1)=(x−p)2(x−a)로 놓은 뒤 f(0)=1을 대입할 때 좌변이 1−1=0이 된다는 점을 놓치지 마세요. 그래야 a=0이 바로 나옵니다.
- p3=278에서 p=32를 얻은 뒤, 구하는 값 g(32)가 사실 조건 (나)의 g(p)와 같다는 것을 알아차리면 마지막 계산을 검산으로 활용할 수 있습니다.
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