고난도
함수의 극대와 극소
극한값을 이용한 미정계수
출제의도
이 문항은 함수 g(x)의 좌극한과 우극한 사이의 관계식으로부터 삼차함수 f(x)를 결정하고, 도함수를 이용해 극댓값과 극솟값을 구할 수 있는지 확인합니다. “분자가 0으로 가는데 0이 아닌 극한값이 존재하면 분모도 0으로 가야 한다”는 원리를 두 번 연속으로 적용하는 것이 핵심입니다.
그 결과 f(x)−1이 (x−1)2을 인수로 갖는다는 사실을 끌어내면, 남은 일차식 하나만 정하면 f(x)가 완성됩니다. 극한 단원의 미정계수 결정과 도함수 단원의 극값 계산이 한 문항 안에서 연결되는 전형적인 융합형 문항입니다.
단계별 힌트
x≤1에서 g(x)=1이므로 좌극한 limx→1−g(x)는 바로 1입니다. 주어진 조건에서 우극한 limx→1+g(x)의 값이 얼마인지 먼저 확정하세요.
그다음, 우극한의 식 (x−1)2f(x)−1에서 분자가 0으로 가는데 극한값이 0이 아닌 수로 존재한다면 분모는 어떻게 되어야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
우극한은 1+1=2입니다. 분자 (x−1)2이 0으로 가고 극한값 2가 존재하므로 분모 f(x)−1도 0으로 가야 하고, 따라서 f(1)=1, 즉 f(x)−1은 x−1을 인수로 가집니다.
f(x)−1=(x−1)Q(x)로 놓고 약분하면 x−1Q(x)의 극한이 2가 됩니다. 같은 원리를 한 번 더 적용하면 Q(1)=0이므로, 결국 f(x)−1은 (x−1)2을 인수로 가집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
최고차항의 계수가 1이므로 f(x)−1=(x−1)2(x−a)로 놓고, 약분 후 극한값 11−a=2에서 a를 구하세요. 그다음 f′(x)=0인 x를 찾아 증감표를 그리고, 극댓값에서 극솟값을 빼면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 154
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A우극한의 값 확정하기
x≤1에서 g(x)=1이므로 limx→1−g(x)=1이고, 조건에서 limx→1+g(x)=1+1=2입니다. 좌극한과 우극한이 다르므로 g(x)는 x=1에서 불연속입니다.
STEP Bf(x)−1이 (x−1)2을 인수로 가짐을 보이기
limx→1+(x−1)2f(x)−1=2에서 분자가 0으로 가므로 분모도 0으로 가야 하고, f(1)=1입니다. f(x)−1=(x−1)Q(x)로 놓으면 limx→1+x−1Q(x)=2이고, 같은 이유로 Q(1)=0입니다. 따라서 f(x)−1=(x−1)2(x−a)로 놓을 수 있습니다.
STEP Ca를 구해 f(x) 결정하기
limx→1+(x−1)2(x−1)2(x−a)=limx→1+1x−a=11−a=2이므로 a=12입니다. 즉 f(x)=(x−1)2(x−12)+1입니다.
STEP D도함수로 극값 구하고 차 계산하기
f′(x)=(2x−2)(x−12)+(x−1)2=(3x−2)(x−1)이므로 f′(x)=0에서 x=23 또는 x=1입니다. 증감표에서 x=23일 때 극댓값 f(23)=5554, x=1일 때 극솟값 f(1)=1이므로 차는 5554−1=154, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 전개하지 않고 인수 꼴 그대로 극값 차 구하기
극댓값과 극솟값의 차를 묻고 있으므로, 함수에 상수 1을 더하든 빼든 답은 달라지지 않습니다. 따라서 f(x) 대신 h(x)=f(x)−1=(x−1)2(x−12)의 극값 차를 구해도 됩니다.
h(x)는 x=1에서 x축에 접하므로 x=1에서 극솟값 h(1)=0을 가집니다. 다른 극값의 위치는 (x−α)2(x−β) 꼴에서 x=α+2β3이므로 x=1+13=23이고, h(23)=(13)2×16=154입니다. 따라서 극값의 차는 154−0=154입니다.
더 나아가 최고차항의 계수가 1인 (x−α)2(x−β)에서 극댓값과 극솟값의 차는 427|α−β|3으로 정리됩니다. 이 문항에서는 |α−β|=12이므로 427×18=154로 곧바로 확인할 수 있습니다. 공식은 검산용으로 쓰고, 풀이는 도함수로 직접 확인하는 습관을 유지하세요.
실수를 줄이는 전략
- 조건식에서 +1이 붙은 쪽은 좌극한입니다. 우극한이 좌극한보다 1 크므로 우극한은 2입니다. 좌우를 바꿔 우극한을 0으로 잡으면 분모 조건 자체가 성립하지 않습니다.
- 분모가 0으로 간다는 조건을 한 번만 쓰고 멈추면 f(x)−1=(x−1)Q(x)에서 더 나아가지 못합니다. 약분 후에도 분자가 0으로 가므로 같은 원리를 한 번 더 적용해야 (x−1)2 인수가 나옵니다.
- 11−a=2에서 1−a=12이므로 a=12입니다. a=−12 또는 a=2처럼 역수와 부호를 헷갈리지 않도록 한 줄씩 적어 확인하세요.
- f(23)를 계산할 때 (x−1)2=(13)2=19, x−12=16이므로 곱은 154입니다. 마지막에 더하는 +1은 극솟값 f(1)=1에서도 똑같이 더해지므로 차를 구할 때 상쇄된다는 점도 함께 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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