변별 포인트
극한과 인수의 개수
삼차함수가 극값을 가질 조건
출제의도
이 문항은 조건 (나)의 극한이 존재한다는 사실을 “f(x)g(x)가 x+1을 몇 번 인수로 가지는가”로 번역할 수 있는지 확인합니다. 분모에 절댓값이 있으므로 좌극한과 우극한의 부호가 달라진다는 점까지 살펴야 인수의 개수가 정확히 정해집니다.
그다음 이차함수 f(x)와 삼차함수 g(x)가 가질 수 있는 인수의 개수에 한계가 있다는 점으로 g(x)를 확정하고, 마지막으로 f(x)+g(x)가 극댓값을 가질 조건을 도함수의 판별식으로 확인해 두 후보 중 하나를 고르는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
x→−1일 때 분모 |x+1|3은 0으로 갑니다. 극한값이 존재하려면 분자 f(x)g(x)도 0으로 가야 하므로, 다항식 f(x)g(x)는 x+1을 인수로 가집니다. 분모가 세제곱이라는 점과, |x+1|3이 x=−1의 왼쪽과 오른쪽에서 다른 식이 된다는 점을 함께 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
같은 논리를 반복하면 f(x)g(x)=(x+1)3Q(x)로 쓸 수 있습니다. 이때 우극한은 Q(−1), 좌극한은 −Q(−1)이므로 두 값이 같으려면 Q(−1)=0이어야 합니다. 즉 f(x)g(x)는 (x+1)4을 인수로 가집니다.
f(x)는 극솟값이 −8이므로 (x+1)2을 인수로 가질 수 없습니다. 그러면 f(x)가 줄 수 있는 x+1은 많아야 한 개이고, 나머지를 삼차함수 g(x)가 모두 맡아야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g(x)=2(x+1)3이고 f(−1)=0입니다. f(x)=2(x−a)2−8에 f(−1)=0을 대입하면 f(x)의 후보가 두 개 나옵니다. 각 후보에 대해 h(x)=f(x)+g(x)의 도함수 h′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가지는지 판별식으로 확인해 f(x)를 정한 뒤 f(2)+g(2)를 계산하세요.
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정답 48
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (나)를 인수의 개수로 번역하기
분모가 0으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 하고, 이를 반복하면 f(x)g(x)=(x+1)3Q(x)입니다. 이때
limx→−1+f(x)g(x)|x+1|3=Q(−1), limx→−1−f(x)g(x)|x+1|3=−Q(−1)
이므로 Q(−1)=0이어야 하고, f(x)g(x)는 (x+1)4을 인수로 가집니다.
STEP B차수의 한계로 g(x) 확정하기
f(x)=2(x−a)2−8이 (x+1)2을 인수로 가지면 f(x)=2(x+1)2이 되어 극솟값이 0이므로 조건 (가)에 어긋납니다. 따라서 f(x)는 x+1을 한 번만 가지고, 삼차함수 g(x)가 (x+1)3을 가져야 하므로 g(x)=2(x+1)3입니다.
STEP Cf(−1)=0으로 f(x)의 후보 구하기
2(−1−a)2−8=0에서 (a+3)(a−1)=0이므로 a=−3 또는 a=1입니다. 따라서 f(x)=2(x+3)2−8 또는 f(x)=2(x−1)2−8입니다.
STEP D극댓값 조건으로 f(x)를 고르고 계산하기
h(x)=f(x)+g(x)라 하면, f(x)=2(x+3)2−8일 때 h′(x)=6x2+16x+18이고 D4=64−108<0이므로 극댓값이 없습니다. f(x)=2(x−1)2−8일 때 h′(x)=6x2+16x+2이고 D4=64−12>0이므로 극댓값을 가집니다.
따라서 f(2)+g(2)=(2−8)+2×33=−6+54=48입니다.
1등급 다른 풀이 · t=x+1로 옮겨서 한 번에
모든 조건이 x=−1을 중심으로 돌아가므로 t=x+1로 놓으면 식이 훨씬 간단해집니다. f(−1)=0이므로 f(x)=2(x+1)(x+1−k)=2t(t−k)로 놓을 수 있습니다. 두 근 0과 k의 가운데인 t=k2에서 극솟값을 가지므로 2×k2×(−k2)=−k22=−8, 즉 k=4 또는 k=−4입니다.
g(x)=2t3이므로 h=2t3+2t2−2kt이고, t로 미분한 식 6t2+4t−2k=0의 판별식은 D4=4+12k입니다. 극댓값을 가지려면 4+12k>0이어야 하므로 k=4만 가능합니다. x=2는 t=3이므로 f(2)+g(2)=2×27+2×9−2×4×3=54+18−24=48입니다. t에 대한 평행이동은 극값의 존재 여부를 바꾸지 않으므로, 전개 없이 판별식 한 번으로 두 후보를 동시에 걸러낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 분자가 0으로 간다는 사실에서 멈추면 x+1이 한 개뿐입니다. 분모가 세제곱이므로 약분 후에도 분모가 0이 되는 한 같은 논리를 반복해 적어도 (x+1)3까지 확보해야 합니다.
- |x+1|3을 무심코 (x+1)3으로 바꾸면 좌극한의 부호 −가 사라져 Q(−1)=0이라는 조건을 놓칩니다. x→−1−에서는 |x+1|3=−(x+1)3입니다.
- f(x)가 (x+1)2을 인수로 가질 수 없는 이유는 조건 (가)에 있습니다. f(x)=2(x+1)2이면 극솟값이 0이 되어 −8이라는 조건과 맞지 않습니다.
- 삼차함수가 극댓값을 가질 조건은 도함수의 판별식 D>0입니다. D=0이면 도함수의 부호가 바뀌지 않아 극값이 없으므로 등호를 넣으면 안 됩니다.
- 두 후보 f(x)는 모두 조건 (가)와 (나)를 만족합니다. “f(x)+g(x)가 극댓값을 가질 때”라는 마지막 조건을 확인하지 않으면 f(2)=42를 쓴 오답 96이 나올 수 있습니다.
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