수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 2 5번

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05
빈출 유형
04 도함수의 활용 (1)
삼차함수가 증가할 조건
도함수와 판별식

출제의도

이 문항은 “x1<x2인 모든 x1, x2에 대하여 f(x1)<f(x2)”라는 문장을 “f(x)는 실수 전체에서 증가한다”로 읽고, 이를 다시 “모든 실수 x에 대하여 f′(x)≥0″이라는 판별식 조건으로 바꿀 수 있는지 확인합니다.

판별식 조건 a2−3b≤0에는 문자가 두 개 있으므로, f(−1)=−103에서 얻은 a와 b의 관계식으로 문자 하나를 없애고 한 문자에 대한 이차부등식으로 범위를 구하는 것이 핵심입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.
힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

f(x1)−f(x2)<0은 f(x1)<f(x2)와 같습니다. x가 커질 때 함숫값도 항상 커진다는 뜻이므로 f(x)는 실수 전체에서 증가합니다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 도함수 f′(x)가 어떤 조건을 만족해야 할지 떠올려 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

f′(x)=3x2+2ax+b가 모든 실수 x에 대하여 0 이상이어야 합니다. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이므로, 그래프가 x축과 만나지 않거나 한 점에서 접하면 됩니다. 즉 판별식 D에 대하여 D4=a2−3b≤0입니다.

또 f(−1)=−103에 x=−1을 대입하면 a와 b 사이의 일차 관계식이 하나 나옵니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

관계식을 b=a+□ 꼴로 정리해 a2−3b≤0에 대입하면 a에 대한 이차부등식이 됩니다. 이것을 인수분해해 a의 범위를 구한 뒤, 관계식을 이용해 b의 범위로 옮기세요. 마지막으로 그 범위에 들어가는 정수 b의 개수를 셉니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 7

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용 (1) Level 2 5번 상세 해설 1
수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용 (1) Level 2 5번 상세 해설 2

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A증가 조건을 판별식으로 바꾸기

x1<x2이면 f(x1)<f(x2)이므로 f(x)는 실수 전체에서 증가합니다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 f′(x)=3x2+2ax+b≥0이고, D4=a2−3b≤0입니다.

STEP Bf(−1)로 a와 b의 관계 구하기

f(−1)=−1+a−b+1=a−b=−103이므로 b=a+103입니다.

STEP Ca의 범위를 구해 b의 범위로 옮기기

a2−3(a+103)≤0에서 a2−3a−10≤0, 즉 (a+2)(a−5)≤0이므로 −2≤a≤5입니다. b=a+103이므로 43≤b≤253이고, 정수 b는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 7개입니다.

1등급 다른 풀이 · 구하는 문자 b만 남기기

묻는 것이 b의 개수이므로 처음부터 a를 소거하면 범위를 옮기는 과정이 사라집니다. a=b−103을 a2≤3b에 대입하고 양변에 9를 곱하면 (3b−10)2≤27b, 즉 9b2−87b+100≤0입니다. 이 식은 (3b−4)(3b−25)≤0으로 인수분해되므로 43≤b≤253이 바로 나옵니다.

그림으로 보면 더 분명합니다. 점 (a, b)를 좌표평면에 찍으면 조건 a2−3b≤0은 포물선 b=a23의 위쪽(경계 포함) 영역이고, 조건 f(−1)=−103은 직선 b=a+103입니다. 두 조건을 동시에 만족하는 점은 직선 중 포물선 안쪽에 들어간 선분이고, 그 양 끝점이 (−2, 43), (5, 253)입니다. b는 이 선분 위에서 연속적으로 변하므로 b의 범위가 두 끝점의 b좌표 사이로 정해집니다.

실수를 줄이는 전략

  • f(x1)−f(x2)<0을 보고 감소 조건으로 착각하지 마세요. x1<x2일 때 f(x1)<f(x2)이므로 증가입니다.
  • 증가 조건을 f′(x)>0, 즉 D<0으로 잡으면 등호가 빠집니다. f′(x)=0이 한 점에서만 성립해도 삼차함수는 증가하므로 D≤0이 맞습니다. 이 문항은 끝값이 정수가 아니라 답이 같지만, 끝값이 정수인 문항에서는 개수가 달라집니다.
  • f(−1)을 계산할 때 (−1)3=−1, a×(−1)2=a, b×(−1)=−b입니다. 부호를 놓치면 b=a−103처럼 관계식 전체가 틀어집니다.
  • 구한 범위는 a가 아니라 b에 대한 것이어야 합니다. −2≤a≤5에서 멈추고 정수 a의 개수 8을 쓰지 않도록, 반드시 103을 더해 b의 범위로 옮기세요.
  • 43=1.33…, 253=8.33…이므로 정수 b는 2부터 8까지, 8−2+1=7개입니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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