변별 포인트
평균값 정리
평균변화율의 범위
출제의도
이 문항은 평균변화율과 미분계수를 하나의 집합으로 묶어, 평균값 정리를 이용해 평균변화율이 가질 수 있는 값의 범위를 도함수의 값의 범위로 바꿀 수 있는지 확인합니다. x1<x2일 때의 p는 평균변화율의 절반이고, x1=x2일 때의 p=3x12+a2는 f′(x1)의 절반입니다.
두 경우에서 얻은 범위의 끝값이 포함되는지를 정확히 따지는 것과, 정수 a의 값에 따라 구간 안의 자연수 개수를 세는 것이 변별 포인트입니다.
단계별 힌트
f′(x)=6x2+a이므로 x1=x2일 때의 식 3x12+a2는 f′(x1)2입니다. 그렇다면 x1<x2일 때의 평균변화율도 어떤 점에서의 미분계수로 바꿀 수 있지 않을까요? 평균값 정리를 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
평균값 정리에 의해 x1<c<x2인 c가 존재하여 p=f′(c)2=3c2+a2입니다. 이때 c는 −1<c<2 범위에 있으므로 3c2의 범위를 구해 보세요.
x1=x2일 때는 x1이 −1≤x1≤2 전체를 움직이므로 끝값이 포함됩니다. 두 범위를 합집합으로 합치면 A가 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
A는 a2 이상 12+a2 이하인 실수 전체의 집합입니다. a가 0 이상이면 자연수가 12개 이상 들어가므로 불가능합니다. a가 음수이면 A에 들어가는 자연수는 1부터 12+a2 이하인 자연수이므로, 이 개수가 10이 되는 조건을 부등식으로 세워 보세요. 구하는 값은 가능한 모든 정수 a의 합입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax1<x2일 때 평균값 정리로 범위 구하기
f(x)=2x3+ax는 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 p=f′(c)2=3c2+a2 (x1<c<x2)입니다. −1<c<2에서 0≤3c2<12이므로, 이 경우의 p는 a2≤p<12+a2 범위 안에 있습니다.
STEP Bx1=x2일 때 범위를 구해 합집합 만들기
p=3x12+a2이고 −1≤x1≤2에서 0≤3x12≤12이므로 p는 a2≤p≤12+a2의 모든 값을 가집니다. 첫 번째 범위가 이 범위에 포함되므로 A={p | a2≤p≤12+a2}입니다.
STEP C자연수의 개수가 10이 되는 정수 a 찾기
a≥0이면 A에 들어가는 자연수는 12개 또는 13개이므로 조건을 만족시키지 않습니다. a<0이면 a2<0이므로 자연수는 1부터 시작하고, 개수가 10이려면 10≤12+a2<11, 즉 −4≤a<−2입니다. 따라서 a=−4 또는 a=−3이고, 합은 −7이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 평균변화율을 직접 인수분해하기
f(x)가 삼차함수이므로 평균변화율을 직접 계산할 수 있습니다. f(x2)−f(x1)=2(x23−x13)+a(x2−x1)=(x2−x1){2(x12+x1x2+x22)+a}이므로, x1<x2일 때 p=x12+x1x2+x22+a2입니다. 이 식에 x1=x2를 넣으면 3x12+a2가 되어 두 번째 조건과 정확히 같아집니다. 즉 두 조건은 “−1≤x1≤x2≤2에서 p=x12+x1x2+x22+a2” 하나로 합쳐집니다.
x12+x1x2+x22=(x1+x22)2+34x22≥0이고 x1=x2=0일 때 최솟값 0, x1=x2=2일 때 최댓값 12입니다. x1=x2=t (0≤t≤2)만 움직여도 3t2이 0부터 12까지의 모든 값을 가지므로, 평균값 정리 없이도 A={p | a2≤p≤12+a2}를 바로 얻습니다. 이 방법은 끝값 12가 x1=x2=2일 때만 나온다는 사실도 함께 보여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- p는 평균변화율 자체가 아니라 분모에 2가 붙은 평균변화율의 절반입니다. 2를 빠뜨리면 범위가 a≤p≤24+a로 잘못 나와 답이 완전히 달라집니다.
- 3c2의 최솟값을 c=−1일 때의 3으로 착각하지 마세요. −1<c<2에는 0이 들어 있으므로 최솟값은 c=0일 때의 0입니다.
- x1<x2인 경우만 보면 끝값 12+a2가 빠집니다. 예를 들어 a=−4이면 10이 A에 들어가지 않아 자연수가 9개로 세어지므로, x1=x2인 경우가 끝값을 채워 준다는 점을 반드시 확인하세요.
- a가 홀수이면 양 끝값이 12 단위의 수가 됩니다. 자연수는 1부터 세고, 0 이하의 원소나 끝값이 정수가 아닌 경우를 구분해서 개수를 세세요.
엄선된 풀이 영상
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