빈출 유형
접선의 방정식
곡선과 x축의 교점
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 “곡선 위의 점 A에서의 접선이 점 B를 지난다”는 조건을 두 개의 식으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 곡선이 점 A를 지난다는 사실에서 한 식, 접선의 기울기가 직선 AB의 기울기와 같다는 사실에서 또 한 식을 얻어 a, b를 구합니다.
곡선이 결정되면 x축과의 교점 C를 인수정리로 찾고, 세 꼭짓점의 좌표로 삼각형 ABC의 넓이를 계산합니다. 접선 조건 해석, 삼차방정식 풀이, 좌표 위 도형의 넓이가 한 문항에 이어져 있다는 점이 핵심입니다.
단계별 힌트
점 A에서의 접선이 점 B를 지나므로, 직선 AB가 곧 점 A에서의 접선입니다. 미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. “곡선이 점 A를 지난다”와 “점 A에서의 접선의 기울기”를 각각 식으로 써 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=ax3+bx+3으로 놓으면 f(1)=6이고, 접선의 기울기 f′(1)은 직선 AB의 기울기 6−21−0=4와 같습니다.
a, b를 구한 뒤 f(x)=0을 풀 때는 양변에 2를 곱해 계수를 정수로 만들고, 작은 정수를 대입해 보는 인수정리를 쓰세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
점 C를 구하면 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표가 모두 정해집니다. 직선 AC가 y축과 만나는 점을 D라 하면 삼각형 ABC는 선분 BD를 공통 밑변으로 하는 두 삼각형으로 나뉩니다. 밑변 BD의 길이와 각 삼각형의 높이(x좌표의 차)를 이용해 넓이를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건으로 a, b 구하기
f(1)=6에서 a+b+3=6, 즉 a+b=3입니다. 직선 AB의 기울기가 4이므로 f′(1)=3a+b=4입니다. 두 식을 연립하면 a=12, b=52입니다.
STEP B곡선과 x축의 교점 C 구하기
f(x)=0의 양변에 2를 곱하면 x3+5x+6=0이고, (x+1)(x2−x+6)=0으로 인수분해됩니다. x2−x+6은 항상 양수이므로 실근은 x=−1뿐이고, C(−1, 0)입니다.
STEP C삼각형 ABC의 넓이 구하기
직선 AC는 y=3x+3이므로 y축과 D(0, 3)에서 만납니다. 삼각형 ABC는 밑변 BD=1을 공유하는 삼각형 ADB(높이 1)와 삼각형 CBD(높이 1)로 나뉘므로 넓이는 12×1×1+12×1×1=1이고, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 증가함수 판정과 좌표 넓이 공식
a=12, b=52로 둘 다 양수이므로 f′(x)=32x2+52>0입니다. 즉 f(x)는 실수 전체에서 증가하는 함수라서 x축과 정확히 한 점에서만 만납니다. 따라서 x=−1을 대입해 f(−1)=0임을 확인하는 순간 C(−1, 0)가 확정되고, 이차식의 판별식을 따로 확인할 필요가 없습니다.
넓이는 점 C가 원점에 오도록 평행이동해서 구할 수 있습니다. 그러면 A는 (2, 6), B는 (1, 2)로 옮겨지고, 원점과 두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 12|x1y2−x2y1|을 쓰면 12|2×2−1×6|=1입니다. 보조점 D를 잡지 않아도 되어 삼각형이 비스듬히 놓인 경우에 특히 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 점 B(0, 2)는 접선 위의 점이지 곡선 위의 점이 아닙니다. f(0)=2로 놓으면 상수항 3과 모순이 생깁니다. B는 기울기를 구할 때만 사용하세요.
- 접선의 기울기는 f′(1)=3a+b입니다. 도함수를 구하지 않고 f(1)을 기울기로 쓰는 실수가 없도록, 조건마다 “함숫값 조건인지, 미분계수 조건인지”를 먼저 구분하세요.
- 12x3+52x+3=0을 분수 그대로 다루면 계산이 꼬이기 쉽습니다. 양변에 2를 곱해 x3+5x+6=0으로 바꾼 뒤 인수정리를 적용하세요.
- 삼각형을 나눌 때 밑변 BD의 길이는 3−2=1입니다. 점 B의 y좌표 2를 그대로 밑변으로 쓰면 넓이가 2가 되어 오답 ③을 고르게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.