빈출 유형
구간별로 정의된 함수의 극값
미분가능하지 않은 점의 극대
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수에서 연속 조건으로 상수 a를 구하고, 각 구간의 증가·감소를 조사해 극값을 모두 찾을 수 있는지 확인합니다.
x=1은 미분가능하지 않은 점이지만, 그 좌우에서 증가에서 감소로 바뀌면 극대가 됩니다. 이 점을 놓치지 않는 것과, 극값의 “집합”이므로 같은 값은 한 번만 더한다는 점이 핵심입니다.
단계별 힌트
f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 두 식이 만나는 x=1에서도 연속이어야 합니다. 이 조건으로 a를 먼저 정하세요. 그다음 x<1, x>1 각 구간에서 f′(x)의 부호를 조사하면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=1에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 하므로 1+3+2=−2+a입니다.
극값은 미분가능한 점에서만 생기는 것이 아닙니다. 어떤 점의 좌우에서 함수가 증가하다가 감소하면, 그 점에서 미분가능하지 않아도 극대입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x<1에서 f′(x)=3x(x+2)의 부호 변화로 x=−2, x=0에서의 극값을 구하고, x=1 바로 왼쪽과 오른쪽의 증감을 비교해 x=1에서의 극값도 확인하세요. 마지막으로 구하는 것은 집합의 원소의 합이므로 중복된 값은 한 번만 셉니다.
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정답 8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 a 구하기
x=1에서의 좌극한은 1+3+2=6, 우극한과 함숫값은 a−2입니다. a−2=6에서 a=8이므로 x≥1에서 f(x)=−2x+8입니다.
STEP B각 구간의 증가·감소 조사하기
x<1에서 f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)이므로 x=−2에서 극대(f(−2)=6), x=0에서 극소(f(0)=2)입니다. x>1에서는 f′(x)=−2<0이므로 감소합니다.
STEP Cx=1에서의 극값 확인 후 합 구하기
0<x<1에서 증가하고 x>1에서 감소하므로 x=1에서 극대이고 극댓값은 f(1)=6입니다. 극값의 집합은 {6, 2}이므로 모든 원소의 합은 6+2=8입니다.
1등급 다른 풀이 · a를 구하지 않고 x=1의 극댓값 바로 읽기
f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)은 왼쪽 식의 값 1+3+2=6과 반드시 같습니다. 즉 극댓값 f(1)=6을 얻는 데에는 a의 값이 필요하지 않습니다.
x=1에서 극대인지 판단할 때도 왼쪽 식의 기울기 3×12+6×1=9>0(증가)과 오른쪽 식의 기울기 −2<0(감소)만 비교하면 됩니다. 이렇게 보면 x<1 부분의 삼차함수에서 나오는 극값 6, 2와 x=1의 극댓값 6이 곧바로 정리되어, 집합 {6, 2}의 원소의 합 8을 빠르게 구할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- x=1에서 미분가능하지 않다고 해서 극값이 아니라고 판단하면 안 됩니다. 좌우에서 증가 → 감소이면 극대입니다.
- 극댓값 6이 x=−2와 x=1에서 두 번 나옵니다. 집합의 원소는 중복되지 않으므로 6+2+6=14로 계산하면 틀립니다.
- x<1에서 g′(x)=0의 근 −2, 0이 모두 x<1 범위 안에 있는지 확인한 뒤 극값으로 인정하세요. 범위 밖의 근은 극값이 되지 않습니다.
- 연속 조건에서 우극한 −2×1+a=a−2의 부호를 실수해 a+2로 쓰지 않도록 주의하세요.