고난도
도함수의 연속성과 사잇값 정리
이차함수의 판별식
출제의도
이 문항은 도함수 f′(x)가 연속이라는 조건을 사잇값 정리와 연결해, (나)의 이차식 ax2+bx+a가 완전제곱식임을 이끌어 낼 수 있는지 확인합니다. (f′(x)−1)2≥0에서 판별식 D≤0을 얻고, f′(c)=1인 c의 존재에서 D=0까지 좁히는 논리가 핵심입니다.
또한 f′(x)=1±√g(x) 두 갈래 중 어느 쪽을 택할지를 연속성으로 결정하는 과정이 들어 있습니다. 식을 세우는 것보다 “왜 한 갈래로만 이어져야 하는가”를 설명할 수 있어야 하는 Level 3 문항입니다.
단계별 힌트
(나)의 좌변 (f′(x)−1)2은 항상 0 이상입니다. 그러면 우변 ax2+bx+a는 모든 실수 x에서 어떤 조건을 만족해야 할까요? 또 (가)에서 f′(x)가 연속이고 f′(−1)<1<f′(2)라는 조건을 보고 떠올릴 수 있는 정리가 무엇인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g(x)=ax2+bx+a≥0이 항상 성립하려면 a>0, D=b2−4a2≤0이어야 합니다.
사잇값 정리에 의해 f′(c)=1인 c가 열린구간 (−1, 2)에 존재하므로 g(c)=0입니다. 즉 y=g(x)의 그래프는 x축에 접하고 D=0, 따라서 b=2a 또는 b=−2a입니다. 둘 중 무엇인지는 f′(−1)≠1, 즉 g(−1)>0이라는 조건으로 가려 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g(x)=a(x−1)2이므로 f′(x)=1±√a|x−1|입니다. x=1이 아닌 곳에서는 두 갈래가 만나지 않으므로, 연속인 f′(x)는 x<1에서 한 갈래, x>1에서 한 갈래로만 이어집니다. f′(−1)<1, f′(2)>1을 이용해 f′(x)를 하나의 일차식으로 정리한 뒤 f′(−4)+f′(3)=0에서 √a를 구하세요. 마지막으로 구하는 값이 a+b라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −49
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(x)≥0에서 a>0, D≤0 얻기
g(x)=ax2+bx+a로 놓으면 (나)에서 g(x)=(f′(x)−1)2≥0입니다. a≠0이므로 모든 실수에서 0 이상이려면 a>0이고 D=b2−4a2=(b+2a)(b−2a)≤0, 즉 −2a≤b≤2a입니다.
STEP B사잇값 정리로 D=0, b=−2a 결정하기
f′(x)가 연속이고 f′(−1)<1<f′(2)이므로 f′(c)=1인 c가 (−1, 2)에 존재하고, g(c)=(1−1)2=0입니다. g(x)≥0인 이차함수가 0이 되므로 x축에 접하여 D=0, b=±2a입니다. 한편 f′(−1)≠1이므로 g(−1)=2a−b>0이어서 b=2a는 불가능하고, b=−2a입니다. 따라서 g(x)=a(x−1)2, c=1입니다.
STEP C연속성으로 f′(x)의 갈래 선택하기
f′(x)=1±√a|x−1|이고, x≠1이면 √g(x)>0이라 두 갈래가 만나지 않습니다. f′(−1)<1이므로 x<1 전체에서 f′(x)=1−√a(1−x), f′(2)>1이므로 x≥1 전체에서 f′(x)=1+√a(x−1)입니다. 두 식은 같은 식이므로 f′(x)=√ax+1−√a입니다.
STEP Df′(−4)+f′(3)=0에서 a, b 구하기
f′(−4)=1−5√a, f′(3)=1+2√a이므로 2−3√a=0, √a=23입니다. 따라서 a=49, b=−2a=−89이고 a+b=−49이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 근의 곱이 1이라는 대칭성 활용
h(x)=f′(x)−1로 놓으면 h(x)는 연속이고 h(−1)<0<h(2)이므로 (−1, 2)에서 h(c)=0인 c가 있습니다. 즉 ax2+bx+a=0은 실근을 가지는데, 좌변이 항상 0 이상이므로 이 실근은 중근이어야 합니다.
이때 ax2+bx+a는 x2의 계수와 상수항이 같아서 두 근의 곱이 aa=1입니다. 중근 r에 대해 r2=1이므로 r=1 또는 r=−1이고, h(−1)≠0이므로 r=1입니다. 그러면 곧바로 g(x)=a(x−1)2, 즉 h(x)2=a(x−1)2을 얻습니다.
h(x)는 x=1에서만 0이고 x=−1에서 음수, x=2에서 양수이므로 h(x)=√a(x−1)입니다. 따라서 f′(−4)+f′(3)=2+h(−4)+h(3)=2+√a(−5+2)=2−3√a=0에서 √a=23을 얻습니다. 판별식 부등식을 여러 번 정리하지 않고 근의 곱 한 줄로 b=−2a까지 도달하는 풀이입니다.
실수를 줄이는 전략
- (f′(x)−1)2=g(x)에서 f′(x)=1+√g(x)로 한쪽만 택하고 넘어가면 안 됩니다. 1−√g(x)도 가능하며, 어느 쪽인지는 f′(−1)<1, f′(2)>1과 연속성으로 구간마다 결정해야 합니다.
- g(x)≥0이 모든 실수에서 성립한다는 조건에서 D≤0만 쓰고 a>0을 빠뜨리기 쉽습니다. a>0이어야 √a가 정의되고, (b+2a)(b−2a)≤0을 −2a≤b≤2a로 정리할 수 있습니다.
- D=0에서 b=2a를 택하면 g(x)=a(x+1)2이 되어 f′(−1)=1이 되므로 f′(−1)<1에 모순입니다. 두 후보를 반드시 조건 (가)로 검증하세요.
- √a=23을 구한 뒤 a=23로 착각하거나, b=−2a에서 부호를 놓치는 실수가 많습니다. 구하는 값은 a+b=49+(−89)=−49입니다.
엄선된 풀이 영상
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