고난도
미분계수의 정의
조건을 만족시키는 다항함수
이차함수의 최댓값
출제의도
이 문항은 극한 조건에서 함숫값 f(1)과 미분계수 f′(1)을 끌어내고, 다항함수의 차수 조건과 부등식 조건을 결합해 함수의 범위를 좁힐 수 있는지 확인합니다. 조건 (가)의 두 극한은 각각 “차수”와 “x=1에서의 정보”를 주고, 조건 (나)는 “최댓값이 5 이하”라는 제약을 줍니다.
분모 f(x)−2를 f(x)−f(1)로 바꿔 미분계수의 정의 꼴을 만드는 것이 첫 번째 관문이고, “f(x)>5인 x가 존재하지 않는다”를 “모든 실수 x에 대하여 f(x)≤5″로 바꿔 읽는 것이 두 번째 관문입니다.
단계별 힌트
limx→1x2−3x+2f(x)−2에서 x→1일 때 분자는 0으로 갑니다. 그런데 극한값이 0이 아닌 13입니다. 이 경우 분모는 어떤 값에 가까워져야 할지 생각해 보세요.
또 limx→∞f(x)x2의 값이 존재한다는 조건은 다항함수 f(x)의 차수에 대해 무엇을 알려 주는지도 함께 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
분모도 0으로 가야 하므로 f(1)=2입니다. 그러면 분모 f(x)−2는 f(x)−f(1)과 같습니다. 분자를 (x−1)(x−2)로 인수분해한 뒤 분자와 분모를 모두 x−1로 나누면 분모에 f(x)−f(1)x−1, 즉 미분계수 f′(1)의 정의가 나타납니다.
한편 limx→∞f(x)x2이 수렴하므로 f(x)의 차수는 2 이하입니다. 상수함수, 일차함수, 이차함수의 경우를 하나씩 따져 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
일차함수라면 f(1)과 f′(1)로 식이 하나로 정해지는데, 이 함수가 조건 (나)를 만족시키는지 확인해 보세요. 결국 f(x)=px2+qx+r로 놓고 f(1)=2, f′(1)=−3을 이용해 q, r을 p로 나타내게 됩니다.
조건 (나)는 “모든 실수 x에 대하여 f(x)≤5”, 즉 이차함수 f(x)의 최댓값이 5 이하라는 뜻입니다. 여기서 p의 범위를 구한 뒤, f(−3)을 p에 대한 식으로 나타내 최댓값을 찾으세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분모가 0으로 가는 조건으로 f(1) 구하기
x→1일 때 분자 x2−3x+2는 0으로 가고, 0이 아닌 극한값 13이 존재하므로 분모도 0으로 가야 합니다. 다항함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 f(1)−2=0, 즉 f(1)=2입니다.
STEP B미분계수의 정의로 f′(1) 구하기
limx→1(x−1)(x−2)f(x)−f(1)=limx→1x−2f(x)−f(1)x−1=−1f′(1)=13이므로 f′(1)=−3입니다.
STEP Cf(x)의 차수 결정하기
limx→∞f(x)x2의 값이 존재하므로 f(x)의 차수는 2 이하입니다. 상수함수이면 f′(1)=0이 되어 STEP B에 모순입니다. 일차함수이면 f(1)=2, f′(1)=−3에서 f(x)=−3x+5인데, x<0에서 f(x)>5가 되어 조건 (나)에 모순입니다. 따라서 f(x)는 이차함수입니다.
STEP D조건 (나)로 최고차항의 계수 p의 범위 구하기
f(x)=px2+qx+r로 놓으면 f(1)=p+q+r=2, f′(1)=2p+q=−3에서 q=−2p−3, r=p+5입니다. 모든 실수 x에 대하여 f(x)≤5이어야 하므로 p<0이고 최댓값 p+5−(2p+3)24p가 5 이하입니다. p<0에 주의해 양변에 4p를 곱하면 4p2≥(2p+3)2, 12p+9≤0이므로 p≤−34입니다.
STEP Ef(−3)의 최댓값 구하기
f(−3)=9p+3(2p+3)+p+5=16p+14는 p가 클수록 커지므로 p=−34일 때 최대이고, 최댓값은 16×(−34)+14=2입니다. 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선 + p(x−1)2 꼴로 한 번에
이차함수 f(x)가 f(1)=2, f′(1)=−3을 만족시키면, x=1에서의 접선 y=−3x+5를 이용해 처음부터 f(x)=p(x−1)2−3x+5 (p≠0)로 놓을 수 있습니다. 전개하면 해설의 식 px2−(2p+3)x+p+5와 정확히 같아 q, r을 따로 구하는 연립 과정이 사라집니다.
이 꼴에서는 f(−3)=16p+14가 바로 계산되고, 조건 (나)는 f(x)−5=px2−(2p+3)x+p≤0이 모든 실수 x에서 성립하는 것과 같습니다. 따라서 p<0이고 판별식 D=(2p+3)2−4p2=12p+9≤0이어야 하므로 p≤−34입니다. 완전제곱식으로 꼭짓점을 구하지 않고 판별식 한 줄로 끝낼 수 있어 계산 실수가 크게 줄어듭니다. 실제로 p=−34일 때 f(x)의 최댓값은 x=−1에서 정확히 5가 되어 조건 (나)를 만족시킵니다.
실수를 줄이는 전략
- 보통은 “분모→0이면 분자→0″을 쓰지만, 이 문항은 반대로 “분자→0이고 극한값이 0이 아니면 분모→0″입니다. 극한값이 13으로 0이 아니라는 점이 이 논리의 근거라는 것을 분명히 하세요.
- 분모 f(x)−2를 그대로 두면 미분계수가 보이지 않습니다. f(1)=2를 구한 즉시 f(x)−f(1)로 바꿔 쓰고, 분자와 분모를 x−1로 나누는 습관을 들이세요.
- −1f′(1)=13에서 f′(1)=3으로 부호를 놓치는 실수가 잦습니다. x=1에서 x−2의 값이 −1이라는 것을 다시 확인하세요.
- 차수가 2 이하라고 해서 곧바로 이차함수로 놓으면 논리가 비게 됩니다. 상수함수와 일차함수가 왜 안 되는지 한 줄씩이라도 반드시 확인하세요.
- “f(x)>5인 x가 존재하지 않는다”는 “모든 x에서 f(x)≤5″로 등호를 포함합니다. 최댓값이 정확히 5인 경우도 허용되므로 p=−34를 범위에서 빼면 안 됩니다.
- p<0이므로 부등식의 양변에 4p를 곱할 때 부등호 방향이 바뀝니다. 방향을 그대로 두면 p≥−34라는 정반대 결론이 나옵니다.
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