빈출 유형
구간별로 정의된 함수의 연속
연속함수의 합과 차
출제의도
이 문항은 “두 함수의 합이 연속이라고 해서 각 함수가 곧바로 연속인 것은 아니다”라는 점을 알고, 불연속이 생길 수 있는 점을 따로 떼어 볼 수 있는지 확인합니다. 우극한 조건 limx→2+f(x)<6은 a<2를 끌어내 두 함수의 경계점 x=2와 x=a가 서로 다르다는 것을 보장하는 장치입니다.
경계점이 다르면 한 점에서는 한 함수만 끊어질 수 있으므로, 연속인 함수를 빼서 나머지 함수도 그 점에서 연속이어야 한다는 결론을 얻습니다. 이 논리로 x=2에서 a를, x=a에서 b를 차례로 구하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
먼저 부등식 조건 limx→2+f(x)<6을 계산해 a의 범위를 구해 보세요. 그다음 f(x)가 끊어질 수 있는 점과 g(x)가 끊어질 수 있는 점이 각각 어디인지, 두 점이 같은지 다른지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
a<2이므로 g(x)는 x=2에서 연속입니다. f(x)+g(x)와 g(x)가 모두 x=2에서 연속이므로 f(x)=(f(x)+g(x))−g(x)도 x=2에서 연속이어야 합니다.
같은 논리를 x=a에 적용하면, 그 점에서 연속인 f(x)를 빼서 g(x)도 x=a에서 연속이어야 한다는 것을 얻습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x=2에서 f(x)의 좌극한, 우극한, 함숫값을 같게 놓아 a를 구하세요. 그다음 구한 a를 경계로 하는 g(x)에서도 좌극한=우극한=함숫값을 세우면 b가 나옵니다. −x+b에 음수인 a를 대입할 때 부호를 조심하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −13
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A우극한 조건으로 a의 범위 구하기
limx→2+f(x)=limx→2+(2x+a)=4+a<6이므로 a<2입니다. 따라서 a≠2이고, f(x)는 x=a에서 연속, g(x)는 x=2에서 연속입니다.
STEP Bx=2에서 f(x)의 연속으로 a 구하기
f(x)+g(x)와 g(x)가 모두 x=2에서 연속이므로 f(x)도 x=2에서 연속입니다. 좌극한은 −2+1=−1, 우극한은 4+a, f(2)=−1이므로 −1=4+a에서 a=−5입니다. 이 값은 a<2를 만족합니다.
STEP Cx=−5에서 g(x)의 연속으로 b 구하기
같은 논리로 g(x)는 x=−5에서 연속입니다. 좌극한은 −5+2=−3, 우극한은 −(−5)+b=5+b, g(−5)=−3이므로 −3=5+b에서 b=−8입니다.
STEP Da+b 계산하기
a+b=−5+(−8)=−13이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 끊어진 높이로 한 번에
구간별로 정의된 함수가 경계점에서 연속이려면 두 식의 경계값 차이, 즉 그래프가 끊어진 높이가 0이어야 합니다. f(x)가 x=2에서 끊어진 높이는 (4+a)−(−1)=a+5이고, g(x)가 x=a에서 끊어진 높이는 (−a+b)−(a+2)=b−2a−2입니다.
경계점이 서로 다르면(a≠2) 두 높이가 서로 상쇄될 수 없으므로 각각 0이어야 합니다. a+5=0에서 a=−5이고, b=2a+2=−8입니다. 좌극한과 우극한을 따로 쓰지 않아도 식 두 줄로 끝납니다.
참고로 만약 a=2였다면 두 함수가 같은 점 x=2에서 끊어지고, f(x)의 높이 7과 g(x)의 높이 b−6이 상쇄되는 b=−1일 때 f(x)+g(x)가 연속이 됩니다. 하지만 이때 우극한이 4+2=6이 되어 조건 <6에 어긋납니다. 문제의 부등식 조건은 바로 이 경우를 걸러내기 위해 들어간 것입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)+g(x)가 연속이라는 사실만으로 “f(x), g(x)가 각각 연속”이라고 단정하면 논리 비약입니다. 두 함수의 경계점이 다르다는 것(a≠2)을 먼저 확인해야 이 결론을 쓸 수 있습니다.
- 부등식 조건에서 구한 a<2를 마지막에 다시 확인하세요. 구한 a=−5가 이 범위를 만족하는지 점검하는 습관이 필요합니다.
- g(x)는 x≤a에서 x+2이므로 경계점의 함숫값은 g(−5)=−5+2=−3입니다. 경계에서 어느 식을 쓰는지 등호 위치를 확인하세요.
- −x+b에 x=−5를 대입하면 5+b입니다. −5+b로 쓰면 b=2가 되어 a+b=−3이라는 오답이 나옵니다.