빈출 유형
연속의 정의
구간별로 정의된 함수
출제의도
이 문항은 함수의 연속의 정의, 즉 “x=−1에서의 극한값과 함숫값이 같다”는 조건을 식으로 세울 수 있는지 확인합니다. 식이 x≠−1일 때와 x=−1일 때로 나뉘어 있으므로 극한값은 어느 식으로 계산하고 함숫값은 어느 식에서 읽는지 구분하는 것이 핵심입니다.
극한은 x가 −1에 한없이 가까워지되 −1이 되지는 않는 상황을 다루므로 x+a를 사용하고, 함숫값 f(−1)은 x=−1일 때의 값인 4를 사용합니다. 이 두 값을 같다고 놓으면 a가 결정됩니다.
단계별 힌트
함수 f(x)가 x=−1에서 연속이려면 함숫값 f(−1)이 정의되고, 극한값 limx→−1f(x)가 존재하며, 두 값이 같아야 합니다. 이 문항에서는 극한값과 함숫값을 각각 어떤 식으로 구해야 할지 먼저 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x→−1일 때 x는 −1이 아닌 값이므로 극한값은 x≠−1일 때의 식인 x+a로 계산합니다.
반면 함숫값 f(−1)은 x=−1일 때의 식에서 읽어야 합니다. 두 값이 같아야 x=−1에서 연속입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
limx→−1(x+a)를 a에 대한 식으로 나타낸 뒤, f(−1)의 값과 같다고 놓고 일차방정식을 풀어 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A극한값 구하기
x≠−1인 x에서 f(x)=x+a이므로 limx→−1f(x)=limx→−1(x+a)=−1+a입니다.
STEP B함숫값 확인하기
x=−1일 때의 식에서 f(−1)=4입니다.
STEP C연속 조건으로 a 구하기
x=−1에서 연속이려면 극한값과 함숫값이 같아야 하므로 −1+a=4, 즉 a=5이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 그래프로 끊어진 곳 이어 붙이기
x≠−1에서 y=f(x)의 그래프는 직선 y=x+a인데, x=−1에서만 점이 (−1, 4)로 따로 떨어져 있는 모양입니다. 즉 직선에는 x=−1인 곳에 구멍이 뚫려 있고, 함숫값 4는 그 구멍 밖의 한 점입니다.
연속이 되려면 이 점이 구멍을 정확히 메워야 하므로, 직선 y=x+a가 점 (−1, 4)를 지나면 됩니다. x=−1, y=4를 대입하면 4=−1+a이므로 a=5가 곧바로 나옵니다. 이렇게 “끊어진 자리를 메우는 점” 관점으로 보면 구간별로 정의된 함수의 연속 문제를 계산 전에 그림으로 먼저 파악할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 극한값을 f(−1)=4로 착각해 “limx→−1f(x)=4이므로 연속”이라고 넘어가면 안 됩니다. 극한값은 반드시 x≠−1일 때의 식인 x+a로 계산합니다.
- −1+a=4를 풀 때 부호를 놓쳐 a=3으로 쓰는 실수가 있습니다. a=4+1=5입니다.
- 연속은 함숫값 존재, 극한값 존재, 두 값의 일치라는 세 조건을 모두 만족해야 합니다. 식이 나뉜 함수에서는 이 세 가지를 경계점에서 하나씩 확인하는 습관을 들이세요.
- x+a는 다항함수이므로 x≠−1인 곳에서는 이미 연속입니다. 따라서 연속 여부는 식이 바뀌는 경계점 x=−1에서만 따지면 됩니다.