연속함수의 성질
함수의 극한에 대한 성질
출제의도
이 문항은 “연속이면 극한값과 함숫값이 같다”는 사실을 이용해 극한 조건을 함숫값 조건으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 두 함수가 x=2에서 연속이므로 주어진 두 극한식은 f(2), g(2)에 대한 연립일차방정식이 됩니다.
합과 실수배, 차의 극한을 각각의 극한으로 나누어 쓰려면 각 극한이 존재해야 하는데, 연속이라는 조건이 이를 보장해 준다는 점이 포인트입니다.
단계별 힌트
f(x), g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이면 x=2에서도 연속입니다. 연속이면 limx→2f(x)는 어떤 값과 같아지는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
limx→2f(x)=f(2), limx→2g(x)=g(2)이므로 함수의 극한에 대한 성질을 이용하면 첫 번째 조건은 f(2)+g(2)=5가 됩니다.
같은 방법으로 두 번째 조건은 2f(2)−g(2)=7이 됩니다. 이제 f(2), g(2)에 대한 연립일차방정식을 풀면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 식을 변끼리 더하면 g(2)가 소거되어 f(2)를 먼저 구할 수 있습니다. 그다음 g(2)를 구하고, 구하는 값이 f(2)−g(2)라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건을 함숫값으로 바꾸기
f(x), g(x)가 x=2에서 연속이므로 limx→2f(x)=f(2), limx→2g(x)=g(2)입니다.
STEP B연립방정식 세우기
극한의 성질에 의해 limx→2(f(x)+g(x))=f(2)+g(2)=5 ……㉠, limx→2(2f(x)−g(x))=2f(2)−g(2)=7 ……㉡입니다.
STEP C연립해서 답 구하기
㉠+㉡에서 3f(2)=12이므로 f(2)=4, ㉠에서 g(2)=1입니다. 따라서 f(2)−g(2)=4−1=3이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 구하는 식을 조건식의 조합으로
f(2)=A, g(2)=B라 하면 조건은 A+B=5, 2A−B=7입니다. 구하는 A−B를 m(A+B)+n(2A−B) 꼴로 나타내면 A의 계수에서 m+2n=1, B의 계수에서 m−n=−1이므로 n=23, m=−13입니다.
따라서 A−B=−13×5+23×7=−5+143=3입니다. 이 문항은 연립방정식이 간단해 기본 풀이도 충분히 빠르지만, f(2), g(2) 각각이 아니라 두 값의 일차결합만 묻는 문항에서는 이 방법으로 개별 값을 구하지 않고 바로 답에 도달할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 연속이라는 조건 없이 limx→2(f(x)+g(x))=5만으로는 f(2)+g(2)=5라고 쓸 수 없습니다. 극한값을 함숫값으로 바꾸는 근거가 연속이라는 점을 의식하세요.
- limx→2(2f(x)−g(x))를 나눌 때 계수 2를 빠뜨려 f(2)−g(2)=7로 쓰는 실수가 있습니다. 2limx→2f(x)−limx→2g(x)로 정확히 나눕니다.
- 두 식을 더할 때 +g(2)와 −g(2)가 소거된다는 점을 부호까지 확인하세요.
- 구하는 값은 f(2)가 아니라 f(2)−g(2)입니다. f(2)=4를 구한 뒤 선택지 ④를 고르지 않도록 마지막에 다시 확인하세요.