기본 핵심
극한값이 존재할 조건
이차함수의 결정
출제의도
이 문항은 “분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 가야 한다”는 극한의 기본 원리를 두 번 연속으로 쓸 수 있는지를 확인합니다. 첫 번째는 f(1)의 값을 결정할 때, 두 번째는 극한값이 존재하지 않게 되는 k를 해석할 때입니다.
핵심은 조건을 뒤집어 읽는 것입니다. “극한값이 존재하지 않는 k가 0과 2뿐”이라는 말은 “0과 2가 아닌 모든 k에 대해서는 극한값이 존재한다”는 뜻이기도 합니다. 이 두 방향을 모두 쓰면 이차함수가 하나로 결정됩니다.
단계별 힌트
x→1일 때 분모의 (x−1)은 0으로 갑니다. 극한값이 존재하는 k가 무수히 많으므로, 그런 k 하나를 골라 생각하면 분자 f(x)+3도 0으로 가야 합니다.
이 사실에서 f(1)의 값을 먼저 확정하세요. 문제에서 가장 먼저 얻을 수 있는 정보입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(1)=−3이면 f(x)+3은 x−1을 인수로 가지므로 분모의 (x−1)과 약분됩니다. 약분 후 남는 식에서 x→1일 때 분모는 f(1)+f(k), 즉 f(k)−3으로 갑니다.
그러면 극한값이 존재하지 않게 되는 것은 이 분모가 0이 되는 순간, 즉 f(k)=3일 때입니다. “극한값이 존재하지 않는 k가 0과 2뿐”이라는 조건을 f에 대한 식으로 바꿔 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(0)=3, f(2)=3, f(1)=−3이라는 세 조건을 f(x)=ax2+bx+c에 대입하면 a, b, c가 모두 정해집니다. 또는 f(0)=f(2)라는 점에서 대칭축이 x=1임을 이용하면 계산이 더 짧아집니다. 마지막으로 f(4)를 계산하세요.
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정답 51
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분자 조건으로 f(1) 결정하기
k≠0, k≠2인 경우 극한값이 존재하고, x→1일 때 (분모)→0이므로 (분자)→0입니다. 따라서 f(1)+3=0, 즉 f(1)=−3입니다. f(x)=ax2+bx+c로 놓으면 a+b+c=−3이므로 c=−a−b−3입니다.
STEP B약분하여 식 정리하기
f(x)+3=ax2+bx−a−b=(x−1)(ax+a+b)이므로 약분하면 주어진 극한은 limx→1 ax+a+bf(x)+f(k)이 됩니다. 이 식의 극한값이 존재하지 않는 k가 0과 2이므로, k=0, k=2일 때 분모의 극한 f(1)+f(k)가 0이어야 합니다.
STEP C연립하여 f(4) 구하기
f(1)+f(0)=0에서 −a−b−6=0, 즉 a+b=−6이고, f(1)+f(2)=0에서 3a+b−6=0, 즉 3a+b=6입니다. 두 식을 연립하면 a=6, b=−12, c=3이므로 f(x)=6x2−12x+3이고 f(4)=96−48+3=51입니다.
1등급 다른 풀이 · 조건을 f(k)=3으로 번역하고 대칭축 이용하기
f(1)=−3을 얻은 뒤 약분한 식의 분모는 x→1일 때 f(1)+f(k)=f(k)−3으로 갑니다. 따라서 “극한값이 존재하지 않는 실수 k가 0과 2뿐”이라는 조건은 “방정식 f(k)=3의 해가 k=0, 2″라는 말과 같습니다. 즉, f(0)=f(2)=3입니다.
이차함수에서 f(0)=f(2)이면 대칭축은 두 점의 한가운데인 x=1이고, 꼭짓점의 y좌표가 f(1)=−3이므로 f(x)=a(x−1)2−3으로 바로 놓을 수 있습니다. f(0)=a−3=3에서 a=6이므로 f(4)=6×9−3=51입니다. 미지수를 세 개에서 하나로 줄여 연립방정식 없이 끝낼 수 있습니다.
참고로 이 함수에서는 약분한 식의 분자 6(x−1)도 x→1일 때 0으로 갑니다. 그래도 k=0 또는 k=2이면 분모가 6(x−1)2이 되어 식이 1x−1로 정리되므로 극한값이 존재하지 않고, 그 밖의 k에서는 극한값이 0으로 존재하므로 조건을 정확히 만족시킵니다.
실수를 줄이는 전략
- f(1)=−3을 얻는 근거는 “극한값이 존재하는 k가 있다”는 것입니다. k=0, 2일 때가 아니라 k≠0, k≠2인 경우에서 분자 조건을 세워야 논리가 맞습니다.
- 약분 후 분모의 극한은 f(1)+f(k)입니다. f(1)을 대입하지 않고 f(x)+f(k)=0을 풀려고 하면 식이 복잡해지므로, 먼저 f(1)=−3을 넣어 f(k)−3으로 바꾸세요.
- c=−a−b−3을 대입해 f(0), f(2)를 구할 때 부호 실수가 잦습니다. f(0)=c=−a−b−3, f(2)=4a+2b+c=3a+b−3을 따로 적어 두고 확인하세요.
- 묻는 것은 계수가 아니라 f(4)입니다. f(x)=6(x−1)2−3 꼴로 바꿔 두면 f(4)=6×32−3으로 검산도 쉽습니다.
엄선된 풀이 영상
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