TOUGH
교점의 개수와 극한
이차함수의 그래프
출제의도
이 문항은 두 그래프 중 아래쪽을 택해 만든 함수 g(x)의 개형을 그리고, 수평선 y=t와의 교점의 개수 h(t)를 t에 대한 함수로 해석할 수 있는지 확인합니다. h(t)의 좌극한과 우극한이 달라지는 위치가 곧 g(x)의 극값이라는 점을 연결하는 것이 핵심입니다.
조건 (가)는 극솟값의 위치를, 조건 (나)는 극댓값의 위치를 알려 주는 장치입니다. 두 조건을 각각 그래프의 어느 점에 대응시킬지 판단하면 이차함수가 하나로 결정됩니다.
단계별 힌트
g(x)는 f(x)와 4x 중에서 더 작은 값을 택한 함수입니다. 즉, 두 그래프 y=f(x)와 y=4x를 겹쳐 그렸을 때 아래쪽에 있는 부분만 이어 붙인 것이 y=g(x)의 그래프입니다.
먼저 두 그래프가 만나지 않거나 한 점에서만 만나면 어떻게 되는지 생각해 보세요. 이 경우 g(x)=4x가 되어 h(t)가 항상 1이므로 조건 (가)를 만족시킬 수 없습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 교점을 왼쪽부터 P, Q라 할 때, P가 포물선의 축보다 왼쪽에 있어야 g(x)가 증가 → 감소 → 증가로 바뀌면서 극솟값 t1과 극댓값 t2가 생깁니다. 이때 h(t)는 1, 2, 3, 2, 1 순서로 바뀝니다.
조건 (가)는 t=0에서 h(t)가 1에서 3으로 뛰어오른다는 뜻입니다. 이렇게 값이 커지는 곳은 극솟값 t1뿐이므로 t1=0, 즉 포물선의 꼭짓점의 y좌표가 0입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h(−2)의 값을 먼저 구하면 조건 (나)에서 h(1)+h(4)의 값이 정해지고, 이로부터 극댓값 t2를 찾을 수 있습니다. 극댓값이 생기는 점 P는 직선 y=4x 위에 있으므로 P의 좌표가 나오고, f(x)=(x−a)2으로 놓아 P를 대입하면 됩니다.
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정답 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(x)의 개형 정하기
y=f(x)와 y=4x가 만나지 않거나 한 점에서만 만나면 g(x)=4x이고 h(t)=1이므로 조건 (가)에 어긋납니다. 따라서 두 그래프는 서로 다른 두 점 P(p, f(p)), Q(q, f(q)) (p<q)에서 만나고, p<x<q에서 g(x)=f(x), 나머지에서 g(x)=4x입니다.
STEP Bh(t)를 구간별로 나타내기
P가 포물선의 축 위나 오른쪽에 있으면 g(x)는 실수 전체에서 증가하여 h(t)=1이므로 조건 (가)에 어긋납니다. 따라서 P는 축의 왼쪽에 있고, 극솟값을 t1, 극댓값을 t2라 하면 h(t)는 t<t1에서 1, t=t1에서 2, t1<t<t2에서 3, t=t2에서 2, t>t2에서 1입니다.
STEP C조건 (가)로 극솟값 찾기
t=0에서 우극한이 좌극한보다 크므로 t1=0입니다. 극솟값은 포물선의 꼭짓점의 y좌표이므로 꼭짓점의 y좌표가 0입니다.
STEP D조건 (나)로 극댓값 찾기
−2<0=t1이므로 h(−2)=1이고, h(1)+h(4)=5입니다. t>0에서 h(t)는 3 → 2 → 1 순서로만 바뀌므로 h(1)=3, h(4)=2이고, t2=4입니다. 직선 y=4와 직선 y=4x의 교점은 (1, 4)이므로 P(1, 4)이고 f(1)=4입니다.
STEP Ef(x) 결정하고 f(7) 구하기
꼭짓점의 y좌표가 0이고 x좌표는 P의 x좌표 1보다 크므로 f(x)=(x−a)2 (a>1)로 놓습니다. f(1)=4에서 (1−a)2=4이므로 a=−1 또는 a=3이고, a>1이므로 a=3입니다. 따라서 f(x)=(x−3)2, f(7)=42=16입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 a를 확정하고 검산하기
f(x)=(x−a)2으로 놓으면 두 교점의 x좌표 p, q는 방정식 (x−a)2=4x, 즉 x2−(2a+4)x+a2=0의 두 근입니다. 근과 계수의 관계에서 p+q=2a+4, pq=a2이고, P(1, 4)에서 p=1이므로 q=a2입니다.
이를 p+q=2a+4에 대입하면 1+a2=2a+4, a2−2a−3=0, (a−3)(a+1)=0입니다. 여기서 a=−1을 대입하면 방정식이 (x−1)2=0이 되어 두 그래프가 접하므로, 서로 다른 두 점에서 만나야 한다는 STEP A의 조건에 어긋납니다. 따라서 a=3이고, 이때 q=9이므로 Q(9, 36)까지 확인할 수 있습니다. 축의 위치를 따지지 않아도 “접하면 탈락”이라는 관점만으로 a=−1을 제외할 수 있어, 조건 확인이 빠르고 확실해집니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)의 정의에서 f(x)<4x일 때 f(x)를 택하므로 g(x)는 두 그래프 중 아래쪽입니다. 위쪽으로 착각하면 개형이 완전히 달라지니 처음에 “작은 값을 택한다”고 한 번 적어 두세요.
- 조건 (가)의 부등호 방향을 꼭 확인하세요. t=0에서 값이 커지는 곳은 극솟값 t1이고, 극댓값 t2에서는 오히려 3에서 1로 작아집니다.
- h(1)+h(4)=5를 만족하는 조합으로 h(1)=2, h(4)=3을 떠올릴 수 있지만, t>0에서 h(t)는 감소하는 방향으로만 바뀌므로 불가능합니다.
- (1−a)2=4에서 a=−1을 그냥 버리지 말고 근거를 적으세요. 꼭짓점이 P(1, 4)보다 오른쪽에 있어야 하므로 a>1이고, a=−1이면 y=4x에 접하는 포물선이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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