기초 필수
우극한과 좌극한
절댓값이 있는 함수
출제의도
이 문항은 절댓값이 들어 있는 함수에서 x의 부호에 따라 |x|를 벗겨 우극한과 좌극한을 따로 구할 수 있는지를 확인합니다. 우극한의 값으로 상수 a를 먼저 정한 뒤, 그 a를 이용해 좌극한을 계산하는 두 단계 구조입니다.
핵심 함정은 “우극한이 5이니 좌극한도 5″라고 착각하는 것입니다. 이 함수는 x=0의 양쪽에서 서로 다른 상수가 되므로, 좌극한과 우극한은 반드시 따로 계산해야 합니다.
단계별 힌트
x→0+는 x가 0보다 큰 쪽에서 0에 다가가는 것이고, x→0−는 0보다 작은 쪽에서 다가가는 것입니다. 따라서 우극한은 x>0, 좌극한은 x<0인 경우의 식으로 계산합니다.
|x|는 x>0이면 x, x<0이면 −x입니다. 부호에 따라 식을 두 개로 나누는 것부터 시작하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x>0일 때 분자와 분모의 |x|를 모두 x로 바꾸면 x가 약분되어 f(x)는 a에 대한 상수가 됩니다. 이 상수가 곧 우극한이므로 5와 같다고 놓으면 a가 나옵니다.
x<0일 때는 분자의 |x|와 분모의 |x|를 모두 −x로 바꿔야 합니다. 분모를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구한 a를 x<0일 때의 식에 대입하고 x를 약분하면 f(x)가 다시 하나의 상수가 됩니다. 상수함수의 극한은 그 상수 자신이므로, 그 값이 바로 좌극한입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax>0일 때 식 정리하고 a 구하기
x>0이면 |x|=x이므로 f(x)=ax+xx=a+1입니다. 우극한이 5이므로 a+1=5, 즉 a=4입니다.
STEP Bx<0일 때 식 정리하기
x<0이면 |x|=−x이므로 f(x)=4x−x−x=3x−x=−3입니다. x<0인 범위에서 f(x)는 항상 −3입니다.
STEP C좌극한 계산하기
limx→0−f(x)=limx→0−(−3)=−3이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · x/|x|를 부호로 보고 합으로 한 번에
식을 ax|x|+|x||x|로 나누면 f(x)=a·x|x|+1입니다. 여기서 x|x|는 x>0이면 1, x<0이면 −1인 부호 역할을 합니다.
따라서 우극한은 a+1, 좌극한은 −a+1이고, 두 값을 더하면 a가 사라져 항상 2가 됩니다. 우극한이 5이므로 좌극한은 2−5=−3입니다. a를 따로 구하지 않아도 되므로, 우극한 대신 좌극한이 주어지거나 계수가 바뀐 변형 문항에서도 “합이 일정하다”는 구조 하나로 빠르게 답을 낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- x<0에서 분자의 |x|만 −x로 바꾸고 분모는 x로 두면 4x−xx=3이 되어 ④를 고르게 됩니다. 분자와 분모의 |x|를 동시에 바꾸세요.
- 우극한이 5라고 해서 좌극한도 5인 것은 아닙니다. 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재하며, 이 문항은 두 값이 다른 경우입니다.
- x→0+와 x→0−의 방향을 혼동하지 마세요. +는 0보다 큰 쪽(오른쪽), −는 0보다 작은 쪽(왼쪽)에서 다가가는 것입니다.
- f(0)이 정의되지 않는다고 극한도 구할 수 없다고 판단하면 안 됩니다. 극한은 x=0에서의 함숫값이 아니라 0 근처에서의 값으로 결정됩니다.