빈출 유형
극한값을 이용한 미정계수
0/0 꼴의 극한
출제의도
이 문항은 “분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 가야 한다”는 미정계수 결정의 기본 원리를 적용할 수 있는지 확인합니다. 이 조건으로 a를 먼저 구하고, 인수분해와 약분으로 극한값 b를 구합니다.
분자에 x=2를 대입해 0으로 놓는 것이 출발점이고, 그 결과 분자가 x−2를 인수로 가진다는 사실을 이어서 활용하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
x→2일 때 분모 x−2는 0에 가까워집니다. 그런데 극한값 b가 존재한다고 했습니다. 분자가 0이 아닌 수에 가까워지면 극한은 발산하므로, 분자는 어떤 값에 가까워져야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
분자 x2+ax+6에 x=2를 대입한 값이 0이어야 합니다. 이 식에서 a가 결정됩니다.
x=2를 대입해 0이 된다는 것은 분자가 x−2를 인수로 가진다는 뜻입니다. 따라서 분자를 인수분해하면 분모와 약분할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
분자를 (x−2)(x−□) 꼴로 인수분해해 x−2를 약분한 뒤, 남은 일차식에 x=2를 대입하면 b가 나옵니다. 마지막으로 구하는 값이 a+b라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분자가 0으로 가는 조건으로 a 구하기
x→2일 때 분모가 0으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다. 4+2a+6=0에서 a=−5입니다.
STEP B인수분해 후 약분해서 b 구하기
b=limx→2x2−5x+6x−2=limx→2(x−2)(x−3)x−2=limx→2(x−3)=−1입니다.
STEP Ca+b 계산하기
a+b=−5+(−1)=−6이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 인수 꼴로 놓고 a, b를 동시에
분자가 x−2를 인수로 가져야 하므로 처음부터 x2+ax+6=(x−2)(x−k)로 놓을 수 있습니다. 상수항을 비교하면 2k=6이므로 k=3이고, x의 계수를 비교하면 a=−(2+3)=−5입니다.
이때 약분하고 남는 식이 x−k=x−3이므로 b=2−3=−1이 곧바로 나옵니다. a를 대입해 다시 인수분해하는 과정을 생략할 수 있어 계산이 짧아집니다. 참고로 3단원에서 미분계수를 배우면, 이 극한값 b는 분자 x2+ax+6을 x=2에서 미분한 값 4+a와 같다는 것도 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 분모가 0으로 간다고 해서 곧바로 “극한값이 없다”고 판단하면 안 됩니다. 분자도 0으로 가는 0/0 꼴이면 약분 후 극한값이 존재할 수 있습니다.
- 4+2a+6=0을 풀 때 부호를 놓쳐 a=5로 쓰는 실수가 있습니다. 2a=−10이므로 a=−5입니다.
- a를 구한 뒤 약분하지 않고 바로 x=2를 대입하면 다시 00이 됩니다. 반드시 x−2를 약분한 다음 대입하세요.
- 구하는 값은 b가 아니라 a+b입니다. 선택지에 −1은 없지만, 마지막 단계에서 무엇을 묻는지 다시 확인하는 습관을 들이세요.