수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 2번

02
빈출 유형
함정 주의

06 수열의 합과 수학적 귀납법
부분분수 분해
절댓값 처리

출제의도

이 문항은 분모가 두 일차식의 곱인 분수의 합, 즉 부분분수 분해로 소거되는 전형적인 유형에 절댓값이라는 장치를 하나 얹은 문제입니다. 절댓값을 무시하고 그대로 부분분수로 밀어붙이면 계산은 깔끔하게 끝나지만 답은 틀립니다.

따라서 “먼저 부호를 따져 절댓값을 벗기고, 그다음 부분분수를 쓴다”는 순서를 지킬 수 있는지가 갈림길입니다. 부호가 뒤집히는 k가 8개 중 단 두 개뿐이라는 점도 출제자가 노린 부분으로, 급하게 풀면 전부 양수라고 단정하기 쉽습니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

절댓값 기호가 붙어 있으면 무조건 안쪽 식의 부호부터 확인해야 합니다. 분자가 1이므로 부호를 결정하는 것은 분모 (2k−7)(2k−11)뿐입니다.

k=1부터 8까지 넣어 보며 이 곱이 음수가 되는 k가 언제인지 찾아보세요. 두 인수의 부호가 서로 다를 때만 음수가 됩니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

(2k−7)(2k−11)<0을 풀면 72 < k < 112입니다. 이 범위에 들어가는 자연수는 k=4와 k=5, 딱 두 개뿐입니다.

나머지 k에서는 절댓값을 그냥 벗기면 되고, k=4, 5에서만 부호가 반대가 됩니다. 그러므로 ∑|x_k| = ∑x_k − 2(x₄+x₅)로 쓸 수 있습니다. 음수 두 항을 한 번 빼서 없애고 한 번 더 빼서 양수로 되살린다고 생각하면 이해하기 쉽습니다.

부분분수 분해는 1AB = 1B−A(1A − 1B) 꼴을 씁니다. 여기서 두 분모의 차는 4입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

부분분수로 바꾸면 14(12k−11 − 12k−7)이 됩니다. k=1부터 8까지 나열하면 분모가 −5, −3, −1, 1, 3, 5인 항들이 서로 짝을 이루어 사라지고 양 끝의 네 항만 남습니다.

남은 항의 분모가 무엇인지 직접 적어 보세요. 소거되지 않고 남는 것은 −9, −7 쪽과 7, 9 쪽입니다. 여기에 k=4, 5에서 생긴 보정값을 더하면 마무리됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ③ 7663

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 2 2번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A부호가 바뀌는 k 찾아내기

(2k−7)(2k−11)<0에서 72<k<112이므로 해당하는 자연수는 k=4, k=5뿐입니다. 이 두 값에서만 절댓값을 벗길 때 앞에 음의 부호가 붙고, 나머지 여섯 개의 k에서는 그대로 벗기면 됩니다.

STEP B절댓값 없는 합으로 바꾸고 보정값 구하기

k=4일 때 분모는 1×(−3)=−3, k=5일 때 분모는 3×(−1)=−3이므로 두 항의 값은 각각 −13입니다. 합이 −23이므로 −2를 곱한 보정값은 +43이 됩니다. 즉 구하는 값은 (절댓값 없는 전체 합) + 43입니다.

STEP C부분분수로 소거하기

각 항을 14(12k−11 − 12k−7)로 바꾸면 가운데 항들이 모두 상쇄되고 14(−19 − 17 − 17 − 19)만 남습니다. 이 값은 −863입니다.

STEP D보정값을 더해 마무리하기

−863 + 43 = −863 + 8463 = 7663이므로 정답은 ③입니다.

1등급 다른 풀이 · 구간을 나누어 두 번 계산하기

보정값 방식이 헷갈린다면 k를 세 구간으로 나누어도 됩니다. k=1, 2, 3 / k=4, 5 / k=6, 7, 8로 끊고, 가운데 구간만 부호를 뒤집어 각각 부분분수로 더하는 방법입니다. 계산량은 조금 늘지만 부호 실수가 원천적으로 차단됩니다.

다만 이때 구간을 나누면 소거가 구간마다 따로 일어나므로, 남는 항이 어느 것인지 매번 확인해야 합니다. 실전에서는 “전체를 부호 없이 계산한 뒤 음수 항만 2배로 되돌린다”는 STEP B 방식이 훨씬 빠르므로, 이 구조를 한 번 익혀 두는 편이 유리합니다.

실수를 줄이는 전략

절댓값을 무시하고 부분분수만 쓰면 −863이라는 음수가 나옵니다. 선택지가 모두 양수인데 음수가 나왔다면 절댓값을 빠뜨린 것입니다.
부등식 72<k<112에서 k=3이나 k=6을 포함시키지 않도록 주의하세요. 3.5보다 크고 5.5보다 작은 자연수는 4와 5뿐입니다.
보정값을 구할 때 −1배가 아니라 −2배임을 잊지 마세요. 음수를 양수로 바꾸려면 그 값의 2배를 빼야 합니다.
부분분수의 계수는 두 분모의 차의 역수입니다. 여기서는 (2k−7)−(2k−11)=4이므로 14입니다. 12로 쓰는 실수가 잦습니다.
분모가 음수인 항들이 섞여 있어 소거 과정에서 부호를 놓치기 쉽습니다. k=1부터 8까지 분모를 −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5 / −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9로 두 줄에 나란히 적어 놓고 눈으로 지워 나가면 안전합니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

수능특강 수학Ⅰ 메인포스트에서 전체 문항 보기