빈출 유형
∑의 기본 성질
자연수 거듭제곱의 합
출제의도
이 문항은 ∑ 기호를 “각 항을 일일이 구해서 더하는 도구”가 아니라 “식을 쪼개고 합치는 계산 규칙”으로 다룰 수 있는지를 묻습니다. 두 수열 {an}, {bn}의 개별 항은 끝까지 알 수 없지만, 문제가 주는 것은 ∑ak, ∑bk, 그리고 곱 anbn의 값뿐입니다. 필요한 것도 딱 그 세 가지입니다.
즉 “각 수열이 무엇인지 알아내야 한다”는 생각을 버리고, 주어진 곱을 전개해 ∑가 계산 가능한 조각으로 분해되는지를 확인하는 것이 핵심입니다. Level 2 첫 문항이지만 수열의 합 단원 전체를 관통하는 태도를 그대로 담고 있습니다.
단계별 힌트
an과 bn을 각각 구하려고 하면 조건이 턱없이 부족합니다. 조건을 만족시키는 수열은 무수히 많기 때문입니다. 그러니 “구한다”가 아니라 “주어진 것만으로 계산된다”는 쪽으로 방향을 바꾸세요.
구해야 할 식은 두 괄호의 곱 형태입니다. 가장 먼저 할 일은 이 곱을 그냥 전개해서, 어떤 ∑들이 나타나는지 눈으로 확인하는 것입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
∑는 덧셈·뺄셈과 상수배에 대해 자유롭게 쪼갤 수 있습니다. 즉 ∑(xk+yk) = ∑xk + ∑yk, ∑c·xk = c∑xk입니다. 전개하고 나면 네 덩어리가 각각 독립적으로 계산됩니다.
단, 곱에 대해서는 쪼갤 수 없습니다. ∑akbk는 (∑ak)(∑bk)가 아닙니다. 그래서 문제가 anbn의 값을 따로 준 것입니다.
상수항의 합도 잊지 마세요. 1부터 7까지 더하므로 ∑k=17 c = 7c입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
전개하면 akbk가 등장하는데, 조건에 의해 이것은 k2입니다. 따라서 그 부분은 ∑k=17 k2이 되고, 공식 ∑k=1n k2 = n(n+1)(2n+1)6에 n=7을 넣으면 됩니다.
나머지 세 덩어리는 각각 주어진 54, 5, 그리고 상수 합으로 바로 바뀝니다. 부호만 조심해서 더하면 끝입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A곱을 전개해 ∑를 네 덩어리로 분해하기
(ak+1)(bk−2)를 전개하면 akbk − 2ak + bk − 2입니다. ∑의 성질에 따라 이 식의 합은 ∑akbk − 2∑ak + ∑bk − ∑2 네 덩어리로 갈라집니다. 각 덩어리가 모두 “주어진 값”이거나 “공식으로 계산되는 값”임을 확인하는 것이 이 단계의 목적입니다.
STEP Bakbk를 k2으로 바꿔 공식 적용하기
모든 자연수 n에 대하여 anbn=n2이므로 ∑akbk=∑k2입니다. n=7일 때 7×8×156=140을 얻습니다. 여기서 두 수열의 정체를 전혀 몰라도 계산이 끝난다는 점이 이 문항의 설계 포인트입니다.
STEP C남은 값을 대입해 마무리하기
−2∑ak=−2×54=−108, ∑bk=5, ∑2=2×7=14입니다. 따라서 140−108+5−14=23이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 구조를 먼저 보고 값만 끼워 넣기
이런 유형은 전개한 뒤 숫자를 대입하는 대신, 전개 결과를 하나의 “틀”로 먼저 적어 두면 계산 실수가 줄어듭니다. 구하는 값을 S라 하면 S = ∑k2 − 2A + B − 2n (단, A=∑ak, B=∑bk, n=7) 꼴이므로, 숫자는 마지막에 한 번만 넣으면 됩니다.
이렇게 문자로 정리해 두면 조건이 바뀐 변형 문항(예: 계수가 다르거나 항의 개수가 다른 경우)에도 틀만 재활용할 수 있습니다. 실제 시험에서 같은 구조가 계수만 바뀌어 반복 출제되므로, 숫자보다 틀을 기억하는 편이 훨씬 경제적입니다.
실수를 줄이는 전략
- ∑akbk를 (∑ak)(∑bk)로 계산하는 실수가 가장 흔합니다. ∑는 곱에 대해 분배되지 않습니다. 54×5=270 같은 값이 나왔다면 이 실수를 의심하세요.
- 상수항 −2의 합을 그냥 −2로 두는 실수를 조심하세요. k=1부터 7까지 일곱 번 더해지므로 −14입니다.
- −2ak의 계수를 빠뜨리기 쉽습니다. 전개할 때 부호와 계수를 한 줄에 모아 적어 두면 안전합니다.
- ∑k2 공식에서 (2n+1) 자리에 n+1을 넣는 혼동이 잦습니다. n=7이면 7×8×15임을 확인하고 6으로 나누세요.
- 두 수열을 실제로 구하려고 시간을 쓰지 마세요. 조건을 만족시키는 수열은 여러 가지가 있고, 어떤 것을 잡아도 답은 같습니다.
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