기초 필수
∑의 기본 성질
근과 계수의 관계
출제의도
이 문항은 수열 단원과 이차방정식 단원을 한 문제 안에서 연결합니다. 겉모습은 ∑ 계산이지만, 그 안에 α2, β2가 들어 있어 먼저 근과 계수의 관계로 정리해야 합니다. 두 단원을 오가는 이런 결합형은 수능·모의고사에서 꾸준히 출제되는 유형입니다.
핵심은 “α와 β를 각각 구하지 않는다”는 판단입니다. x2−3x+1=0의 근은 무리수라 직접 구하면 계산이 지저분해지지만, 식을 전개해 보면 필요한 것은 α2+β2과 α2β2뿐입니다. 무엇이 필요한지 먼저 확인하고 움직이는 습관을 점검하는 문항입니다.
단계별 힌트
∑ 안의 식 (k−α2)(k−β2)을 그대로 두면 무엇을 더해야 할지 보이지 않습니다. 먼저 k에 대해 전개해 보세요.
(k−α2)(k−β2)=k2−(α2+β2)k+α2β2이 됩니다. 여기서 α2+β2과 α2β2은 k와 무관한 상수라는 점이 결정적입니다. α, β를 따로 구할 필요가 전혀 없습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
이차방정식 x2−3x+1=0의 두 근이 α, β이므로 근과 계수의 관계에서 α+β=3, αβ=1입니다.
이제 필요한 두 상수를 곱셈 공식의 변형으로 만들어 보세요. α2+β2=(α+β)2−2αβ이고, α2β2=(αβ)2입니다. 두 값을 구하면 ∑ 안의 식이 k만 남은 깔끔한 이차식으로 바뀝니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
∑는 항끼리 쪼갤 수 있고 상수는 밖으로 뺄 수 있습니다. ∑(k2−7k+1)=∑k2−7∑k+∑1 처럼 세 덩어리로 나누세요.
그 다음 공식 ∑k2=n(n+1)(2n+1)6, ∑k=n(n+1)2, ∑1=n에 n=6을 넣어 마무리하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ −50
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A근과 계수의 관계로 상수 두 개 만들기
α+β=3, αβ=1이므로 α2+β2=(α+β)2−2αβ=32−2=7이고, α2β2=(αβ)2=1입니다. 이 두 값만 있으면 α, β의 실제 값은 필요 없습니다.
STEP B전개한 뒤 ∑ 공식으로 계산하기
(k−α2)(k−β2)=k2−7k+1이므로 구하는 값은 ∑k2−7∑k+∑1 (k=1부터 6까지)입니다. 이는 6·7·136−7×6·72+6=91−147+6=−50이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · α2, β2을 근으로 갖는 이차식 바로 세우기
α2과 β2의 합이 7, 곱이 1이라는 것은 곧 α2과 β2이 x2−7x+1=0의 두 근이라는 뜻입니다. 이차식은 두 근을 알면 f(x)=(x−α2)(x−β2)로 인수분해되므로, 거꾸로 (k−α2)(k−β2)=k2−7k+1임을 전개 없이 곧바로 씁니다.
이렇게 보면 “합과 곱 → 이차식”이라는 한 걸음만에 ∑ 계산으로 넘어갈 수 있습니다. 근을 제곱하거나 세제곱한 값이 등장하는 문항에서 두루 쓰이는 시각이니, 쉬운 문항에서 미리 익혀 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- α2+β2=(α+β)2−2αβ입니다. 부호를 +로 쓰면 11이 되어 답이 통째로 달라집니다.
- 전개할 때 가운데 항은 −(α2+β2)k로 부호가 음수입니다. −7k를 +7k로 옮겨 적는 실수가 가장 많습니다.
- ∑1은 1이 아니라 n입니다. 1을 6번 더하므로 6이 되며, 이 항을 빠뜨리면 −56(②)이 나옵니다. 선택지에 −56이 있는 이유가 바로 이것입니다.
- ∑ 공식 n(n+1)(2n+1)6과 n(n+1)2를 헷갈리지 않도록, n=2를 넣어 각각 5(=1+4), 3(=1+2)이 나오는지 즉석에서 확인하는 습관을 들이세요.
- α, β를 근의 공식으로 직접 구해 대입하려 들면 무리수 계산이 길어져 실수만 늘어납니다. 필요한 것은 합과 곱뿐이라는 점을 먼저 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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