기초 필수
등비중항
귀납적으로 정의된 수열
출제의도
이 문항은 an+12=anan+2라는 관계식을 보고 “아, 이건 등비수열이구나”를 곧바로 떠올릴 수 있는지를 확인합니다. 관계식을 한 줄 해석하는 순간 문제가 단순한 등비수열 계산으로 바뀌기 때문에, 해석이 되느냐 안 되느냐로 풀이 시간이 크게 갈립니다.
수열 단원에서는 이렇게 조건식의 정체를 알아보는 눈이 계산력보다 먼저입니다. 등차중항 2b=a+c와 등비중항 b2=ac를 짝지어 기억해 두면, Level 2·3의 복잡한 귀납적 정의 문항에서도 첫 단추를 빠르게 꿸 수 있습니다.
단계별 힌트
세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이루면 b2=ac가 성립합니다. 이때 b를 a와 c의 등비중항이라고 합니다. 거꾸로 b2=ac가 성립하면 세 수는 등비수열입니다.
문제의 조건은 “모든 자연수 n에 대하여” 성립합니다. 즉 a1, a2, a3도, a2, a3, a4도… 연속한 세 항이 언제나 등비수열이라는 뜻입니다. 이것이 수열 전체에 대해 무엇을 말해 주는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연속한 세 항이 항상 등비수열이라는 것은, 이웃한 두 항의 비가 언제나 일정하다는 뜻입니다. 따라서 수열 {an} 자체가 등비수열입니다. 등비수열임을 확정했다면 남은 일은 공비 r를 찾는 것뿐입니다.
공비는 이웃한 두 항의 나눗셈으로 구합니다. 문제에서 값이 주어진 두 항이 a2와 a3이니, r=a3a2를 계산해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
등비수열에서는 an=am×rn−m입니다. 첫째항 a1을 굳이 구할 필요 없이, 이미 알고 있는 항에서 바로 건너뛰면 됩니다.
a3에서 a6까지는 몇 칸을 이동해야 하는지 손가락으로 세어 보세요. 3→4→5→6이므로 공비를 몇 번 곱해야 하는지가 보일 것입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 48
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건식을 등비수열로 번역하기
모든 자연수 n에 대하여 an+12=anan+2이므로, 연속한 세 항 an, an+1, an+2는 항상 등비수열을 이룹니다. 따라서 수열 {an}은 등비수열입니다.
STEP B공비를 구하고 원하는 항까지 건너뛰기
a2=3, a3=6에서 공비는 a3a2=2입니다. a6은 a3에서 세 칸 뒤이므로 a6=23×a3=8×6=48이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 점화식 그대로 한 항씩 밀고 나가기
“등비수열이다”라는 해석이 바로 떠오르지 않아도 답을 낼 수 있습니다. 조건식을 an+2에 대해 정리하면 an+2=an+12an이므로, 앞의 두 항만 있으면 다음 항이 계속 나옵니다.
a4=a32a2=623=12, a5=1226=24, a6=24212=48입니다. 구할 항이 멀지 않을 때는 이렇게 밀고 나가는 편이 오히려 안전하니, 구조 파악이 막히면 손으로 세 항만 써 보는 습관을 들이세요.
실수를 줄이는 전략
- 공비는 뒤 항 ÷ 앞 항입니다. a2÷a3=12로 거꾸로 계산하면 답이 크게 어긋납니다.
- 지수 자리의 칸 수를 꼭 세어 보세요. a6=a3×r3이지 r4가 아닙니다. a2에서 출발한다면 a6=3×24=48로 지수가 4가 되며, 어느 쪽이든 값은 같아야 합니다. 서로 다르게 나왔다면 칸 수를 잘못 센 것입니다.
- 첫째항 a1을 굳이 구하려다 시간을 쓰지 마세요. 등비수열은 알고 있는 아무 항에서나 공비를 곱해 이동할 수 있습니다.
- b2=ac(등비중항)와 2b=a+c(등차중항)를 헷갈리면 처음부터 다른 문제를 푸는 셈이 됩니다. 제곱·곱이면 등비, 두 배·합이면 등차로 묶어서 외워 두세요.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 1 7번”에 대한 1개의 생각