실력 고난도
코사인법칙 식 정리
사인법칙과 외접원
포물선 위의 점
출제의도
이 문항은 코사인법칙과 사인법칙을 ‘각을 구하는 도구’가 아니라 ‘식을 정리하는 도구’로 쓸 수 있는지를 묻습니다. 조건 (가)는 세 각의 코사인값을 모두 변으로 바꿔 넣으면 c2=a2+b2라는 한 줄로 압축되고, 그 순간 삼각형 AOQ가 직각삼각형임이 확정됩니다. 겉보기에는 복잡한 식이지만 실제로는 피타고라스 정리를 숨겨 놓은 문제입니다.
조건 (나)는 사인법칙의 역방향 사용입니다. 두 삼각형이 같은 변을 공유하고 그 변을 마주보는 각이 같다면 두 외접원의 반지름이 같다는 사실을 끌어내야 합니다. 여기까지 오면 좌표평면 문제로 바뀌어, 원의 방정식과 포물선을 연립하는 계산으로 마무리됩니다. 삼각함수 단원과 도형의 방정식이 결합된, Level 3다운 복합 문항입니다.
단계별 힌트
조건 (가)에 등장하는 ∠OAQ, ∠AQO, ∠QOA는 모두 삼각형 AOQ의 세 내각입니다. 그리고 이 삼각형의 세 변의 길이가 각각 a, b, c로 이미 이름 붙어 있습니다. 각과 변이 한 삼각형 안에 다 모여 있다면 떠올릴 도구는 하나, 코사인법칙입니다.
세 각의 코사인값을 모두 a, b, c로 바꿔서 대입해 보세요. 분수가 많아 보여도 양변에 분모의 곱을 한 번에 곱해 정리하면 생각보다 깔끔하게 줄어듭니다. 정리된 결과가 무엇을 뜻하는지(세 변 사이의 관계)를 꼭 해석하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
조건 (가)를 정리하면 (a2+b2)(a2+b2−c2)=0이 되고, a2+b2>0이므로 c2=a2+b2, 즉 ∠AOQ=90°입니다. 직각삼각형이 되었으니 cos(∠AQO)와 sin(∠OAQ)는 모두 bc로 같은 값이 됩니다.
그러면 조건 (나)는 cos(∠OPA)=cos(∠AQO), 곧 ∠OPA=∠AQO를 뜻합니다. 여기서 삼각형 APO와 삼각형 AOQ를 나란히 놓고 보세요. 두 삼각형은 변 OA=a를 함께 가지고 있고, 방금 같다고 밝혀진 두 각이 바로 그 변 a를 마주보는 각입니다.
사인법칙 asin A=2R에서 대변과 대각이 각각 같으면 무엇이 같아지는지 생각해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 삼각형 APO, AOQ의 외접원 반지름이 같습니다. 두 원은 O와 A를 함께 지나므로 직선 OA에 대하여 서로 대칭입니다. 직선 OA는 y=x이므로, 한쪽 외심을 구해 y=x에 대칭이동하면 다른 쪽 외심이 나옵니다.
먼저 점 Q부터 구하세요. ∠AOQ=90°이므로 직선 OQ는 직선 y=x에 수직인 y=−x이고, 이를 포물선 y=x2−2x와 연립하면 Q가 나옵니다. 삼각형 AOQ는 ∠AOQ=90°인 직각삼각형이므로 외심은 빗변 AQ의 중점입니다.
이렇게 얻은 삼각형 APO의 외심과 반지름으로 원의 방정식을 세우고, 포물선과 연립해 4차방정식을 풀면 P의 x좌표 후보가 나옵니다. P는 제2사분면에 있다는 단서로 하나만 골라내세요. 구하는 값은 PQ가 아니라 PQ2입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 20
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 코사인법칙으로 바꿔 c2=a2+b2 얻기
삼각형 AOQ에서 cos(∠OAQ)=a2+c2−b22ac, cos(∠AQO)=b2+c2−a22bc, cos(∠QOA)=a2+b2−c22ab입니다. 이를 조건 (가)에 대입하고 양변에 2abc2을 곱하면 (a2+c2−b2)(b2+c2−a2)+c2(a2+b2−c2)=4a2b2입니다.
좌변을 c4−(a2−b2)2+c2(a2+b2)−c4 꼴로 묶어 정리하면 (a2+b2)2−c2(a2+b2)=0, 즉 (a2+b2)(a2+b2−c2)=0이 됩니다. a2+b2>0이므로 c2=a2+b2이고 삼각형 AOQ는 ∠AOQ=90°인 직각삼각형입니다.
STEP B조건 (나)를 ∠OPA=∠AQO로 해석하기
직각삼각형이므로 cos(∠AQO)=bc, sin(∠OAQ)=bc입니다. 조건 (나)에서 cos(∠OPA)=sin(∠OAQ)=bc=cos(∠AQO)이므로 ∠OPA=∠AQO입니다.
삼각형 APO의 외접원 반지름을 R1, 삼각형 AOQ의 외접원 반지름을 R2라 하면 두 삼각형 모두 각의 대변이 OA=a이므로 사인법칙에서 asin(∠OPA)=2R1, asin(∠AQO)=2R2, 따라서 R1=R2입니다.
STEP C점 Q의 좌표와 삼각형 AOQ의 외심 구하기
직선 OA는 O(0, 0)과 A(3, 3)을 지나므로 y=x이고, ∠AOQ=90°이므로 직선 OQ는 y=−x입니다. 포물선과 연립하면 x2−2x=−x에서 x2−x=0, x(x−1)=0이고 Q는 제4사분면의 점이므로 x=1, 즉 Q(1, −1)입니다.
삼각형 AOQ는 ∠AOQ=90°인 직각삼각형이므로 외심은 빗변 AQ의 중점 (3+12, 3−12), 즉 (2, 1)이고 R2=√(22+12)=√5입니다.
STEP D대칭을 이용해 삼각형 APO의 외접원 구하기
두 원은 모두 O와 A를 지나고 반지름이 같으므로, 공통현 OA를 품은 직선 y=x에 대하여 서로 대칭입니다. 따라서 삼각형 APO의 외심은 (2, 1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 (1, 2)이고 반지름은 그대로 √5입니다. 원의 방정식은 (x−1)2+(y−2)2=5입니다.
STEP E점 P를 구하고 PQ2 계산하기
y=x2−2x를 대입하면 (x−1)2+(x2−2x−2)2=5이고, 전개해 정리하면 (x2−2x)(x2−2x−3)=0, 즉 x(x−2)(x−3)(x+1)=0입니다. P는 제2사분면의 점이므로 x좌표는 음수, 따라서 x=−1이고 P(−1, 3)입니다.
그러므로 PQ2={1−(−1)}2+(−1−3)2=4+16=20입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭 대신 외심을 직접 구하기
대칭 논증이 잘 떠오르지 않는다면, 삼각형 APO의 외접원을 조건만으로 직접 결정해도 됩니다. 이 원은 O(0, 0)과 A(3, 3)을 지나므로 중심은 선분 OA의 수직이등분선 위에 있습니다. OA의 중점은 (32, 32)이고 기울기가 −1이므로 수직이등분선은 y=−x+3입니다.
중심을 (t, 3−t)로 놓고 반지름이 √5임을 쓰면 t2+(3−t)2=5에서 2t2−6t+4=0, t2−3t+2=0, t=1 또는 t=2입니다. t=2는 이미 구한 삼각형 AOQ의 외심 (2, 1)이므로 남은 t=1, 즉 (1, 2)가 삼각형 APO의 외심입니다. 대칭성을 ‘알아채는’ 대신 두 근 중 하나를 소거하는 방식이어서, 시험장에서 더 안정적으로 쓸 수 있는 풀이입니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)를 전개할 때 c4이 더해지고 빼지며 상쇄됩니다. 이 상쇄를 놓치면 4차식이 정리되지 않아 길을 잃습니다. (a2+c2−b2)(b2+c2−a2)를 {c2+(a2−b2)}{c2−(a2−b2)} 꼴의 합차 공식으로 묶는 것이 핵심입니다.
- 사인법칙으로 R1=R2를 끌어낼 때 각과 대변의 짝을 반드시 확인하세요. ∠OPA의 대변은 OA, ∠AQO의 대변도 OA입니다. 공통변이 같아야 반지름이 같다는 결론이 성립합니다.
- 사각형 APOQ가 한 원에 내접한다고 착각하기 쉽습니다. 두 외접원은 반지름만 같을 뿐 서로 다른 원이며, 이 문항의 핵심도 바로 그 두 원의 대칭 관계입니다.
- 4차방정식의 해 x=0, 2, 3은 각각 O, Q가 놓인 x축 교점과 A에 해당하는 값입니다. P가 제2사분면이라는 단서가 없으면 고를 수 없으므로, 조건 문장을 끝까지 읽고 부호를 확인하세요.
- 마지막에 구하는 값은 PQ가 아니라 PQ2입니다. 거리를 구한 뒤 습관적으로 근호를 씌우면 2√5로 답하게 됩니다. 답은 정수 20입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.