수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 3번

03
기본 필수

03 삼각함수
각의 변환 공식
유리함수 꼴의 최대·최소

출제의도

이 문항은 괄호 안의 각이 32π−x, π2+x, π−x처럼 서로 다르게 주어졌을 때, 각의 변환 공식을 이용해 모든 항을 sin x와 cos x로 바꾸고, 다시 cos x 하나로 통일할 수 있는지를 확인합니다. 세제곱과 제곱이 섞여 있어 복잡해 보이지만, 정리하고 나면 1+2cos x−2라는 아주 단순한 꼴만 남습니다.

핵심 동작은 두 가지입니다. 첫째, sin²x=1−cos²x로 삼각함수의 종류를 하나로 맞추는 것, 둘째, 분자를 분모로 나누듯이 묶어서 ‘다항식+상수분모‘ 꼴로 쪼개는 것입니다. 이 두 동작은 삼각함수의 최대·최소 문항에서 계속 반복되므로 이 문항에서 확실히 익혀 두세요.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

식이 복잡할수록 괄호 안의 각부터 정리해야 합니다. cos(32π−x), sin(π2+x), cos(π−x)가 각각 sin x, cos x 중 무엇으로 바뀌는지, 그리고 부호가 +인지 −인지를 하나씩 확인하세요.

이때 제곱이 붙은 항은 부호가 사라지지만, 세제곱이나 1제곱인 항은 부호가 그대로 남는다는 점도 함께 따져 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

각을 정리하고 나면 식에 sin²x와 cos x가 섞여 있습니다. sin²x=1−cos²x를 이용해 분수 부분의 분자를 cos x만의 식으로 바꾸세요.

그다음 분자를 분모 (cos x−2)가 드러나도록 묶어 봅니다. 분자의 cos³x−2cos²x 부분은 cos²x(cos x−2)로 묶이고, 남는 것은 상수 2뿐입니다. 분수를 ‘몫+나머지분모‘로 쪼개는 것과 같은 동작입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

제대로 정리했다면 sin²x+cos²x=1이 나타나서 f(x)=1+2cos x−2이 됩니다. 0≤x≤π에서 cos x의 범위를 쓰고, 양변에서 2를 빼서 분모의 범위를 구한 뒤, 2cos x−2의 범위로 넘어가세요. 분모가 음수이므로 부등호 방향에 특히 주의해야 합니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ② −23

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 3번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A각의 변환 공식으로 식 정리하기

cos(32π−x)=−sin x이므로 제곱하면 sin²x, sin(π2+x)=cos x이므로 세제곱은 cos³x, cos(π−x)=−cos x입니다. 따라서 f(x)=sin²x−cos³x+2sin²x−cos x+2로 바꿔 쓸 수 있습니다.

STEP Bcos x로 통일하고 분수를 쪼개기

분자에 sin²x=1−cos²x를 대입하면 cos³x−2cos²x+2=cos²x(cos x−2)+2가 됩니다. 분모 −cos x+2=−(cos x−2)이므로 빼기 부호와 합쳐 f(x)=sin²x+cos²x+2cos x−2=1+2cos x−2로 정리됩니다.

STEP Ccos x의 범위로 최댓값·최솟값 구하기

0≤x≤π에서 −1≤cos x≤1이므로 −3≤cos x−2≤−1이고, −2≤2cos x−2≤−23입니다. 따라서 M=1−23=13 (x=π일 때), m=1−2=−1 (x=0일 때)이고, M+m=−23이므로 정답은 ②입니다.

1등급 다른 풀이 · 치환 후 유리함수 그래프로 보기

cos x=t로 치환하면 0≤x≤π에서 t는 −1부터 1까지의 모든 값을 가지고, 함수는 y=2t−2+1이 됩니다. 이것은 점근선이 t=2, y=1인 유리함수이고, 분자 2가 양수이므로 점근선 t=2의 왼쪽 부분에서는 t가 커질수록 y가 계속 감소합니다.

구간 −1≤t≤1은 점근선 t=2의 왼쪽에 통째로 들어 있으므로, 이 구간에서 함수는 감소합니다. 따라서 t=−1에서 최댓값 13, t=1에서 최솟값 −1을 가지며, 부등식을 뒤집는 과정 없이 양 끝값만 대입해 끝낼 수 있습니다. 치환할 때는 새 변수 t의 범위를 반드시 먼저 적는 습관을 들이세요.

실수를 줄이는 전략

변환 공식의 부호는 항마다 따로 판단하세요. cos²(32π−x)처럼 제곱이면 부호가 사라지지만, cos(π−x)는 1제곱이라 −cos x의 부호가 그대로 분모에 남습니다. 분모를 cos x+2로 쓰면 전혀 다른 함수가 됩니다.
분모가 음수인 분수의 범위를 구할 때는 역수를 취하는 순간 부등호 방향이 바뀝니다. 헷갈리면 cos x=−1, cos x=1을 직접 대입해 두 끝값을 비교하는 것이 가장 안전합니다.
x의 범위가 0≤x≤π이므로 cos x는 −1부터 1까지 모두 가능합니다. 범위가 0≤x≤π2로 바뀌면 cos x의 범위도 달라지므로, 문제의 범위를 매번 확인하세요.
선택지가 ±23, ±43처럼 부호만 다른 짝으로 구성되어 있어 부호 실수 한 번이 곧 오답으로 이어집니다. 마지막에 M은 x=π, m은 x=0에서 나오는지 원래 식에 대입해 검산하세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 영상은 이 문항의 풀이가 시작되는 지점(36:04)부터 재생됩니다.

수능특강 수학Ⅰ 메인포스트에서 전체 문항 보기