수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 1 8번

08
기초 필수

03 삼각함수
탄젠트함수의 그래프
치환으로 부등식 풀기

출제의도

이 문항은 괄호 안이 x−π3처럼 복잡한 탄젠트 부등식을 만났을 때 “괄호 안을 t로 치환하고, t의 범위부터 새로 구할 수 있는가?”를 확인합니다. 치환만 제대로 하면 y=tan t의 그래프 한 장으로 답을 읽을 수 있습니다.

특히 탄젠트함수는 t=π2에서 정의되지 않는다는 점이 답의 모양을 결정합니다. 범위가 ‘0≤x≤α 또는 β<x≤γ’처럼 두 조각으로 나뉘고 β에만 등호가 빠진 이유를 그래프로 이해하는 것이 이 문항의 핵심입니다.

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

괄호 안의 x−π3를 t로 치환하세요. 치환할 때 가장 중요한 것은 x의 범위를 t의 범위로 바꾸는 일입니다.

0≤x≤π의 각 변에서 π3를 빼면 t가 움직이는 구간이 나옵니다. 이 구간을 먼저 적어 두어야 이후 그래프에서 어디까지 볼지가 정해집니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

y=tan t의 그래프는 t=π2에서 점근선을 가지며, 그 양쪽에서 끊어져 있습니다. t의 범위 안에 π2가 들어 있는지 확인하고, 들어 있다면 그래프를 두 조각으로 나누어 생각하세요.

또 tan t=1이 되는 t의 값은 π4입니다. 그래프에 직선 y=1을 함께 그려 두면, 그래프가 이 직선보다 아래에 있는 부분이 바로 부등식의 해입니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

왼쪽 조각에서는 t가 π4 이하일 때, 오른쪽 조각에서는 점근선 바로 오른쪽부터 끝점까지 tan t 값이 모두 음수이므로 1 이하입니다. 이렇게 구한 t의 범위에 π3를 더해 x의 범위로 되돌리면 α, β, γ가 정해집니다.

t와 x를 오갈 때 등호가 어디에 붙고 어디에서 빠지는지까지 그대로 옮겨 적으세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ④ 2912π

수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 1 8번 상세 해설

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A치환하고 t의 범위 구하기

x−π3=t라 하면 0≤x≤π에서 −π3≤t≤23π입니다. 주어진 부등식은 이 범위에서 tan t≤1을 푸는 문제로 바뀝니다.

STEP B그래프에서 tan t≤1인 부분 읽기

−π3≤t≤23π에서 y=tan t의 그래프는 t=π2를 경계로 두 조각입니다. 왼쪽 조각에서는 −π3≤t≤π4, 오른쪽 조각에서는 π2<t≤23π일 때 tan t≤1이 성립합니다. t=π2에서는 탄젠트 값이 없으므로 등호가 빠집니다.

STEP Cx로 되돌려 α+β+γ 계산하기

각 범위에 π3를 더하면 0≤x≤712π 또는 56π<x≤π입니다. 따라서 α=712π, β=56π, γ=π이고, α+β+γ=712π+1012π+1212π=2912π이므로 정답은 ④입니다.

치환 대신 y=tan(x−π3)의 그래프를 y=tan x를 x축 방향으로 π3만큼 평행이동한 것으로 볼 수도 있습니다. 그러면 점근선은 x=π2+π3=56π로 옮겨지고, 함숫값이 1이 되는 점은 x=π4+π3=712π로 옮겨집니다.

점근선 x=56π가 곧 β이고, 함숫값이 1이 되는 x=712π가 곧 α이며, 구간의 오른쪽 끝 π가 γ입니다. ‘점근선과 기준점을 함께 평행이동한다’는 관점이 익숙해지면 삼각함수 부등식을 치환 없이 그래프 한 장으로 끝낼 수 있어 시간이 크게 줄어듭니다.

치환한 뒤 t의 범위를 바꾸지 않고 0≤t≤π로 두는 실수가 가장 흔합니다. 치환하면 반드시 범위부터 새로 구하세요.
t=π2를 해에 포함시키면 안 됩니다. 탄젠트함수는 점근선에서 정의되지 않으므로 β 쪽 부등호는 항상 등호 없는 <입니다.
오른쪽 조각 π2<t≤23π를 통째로 빠뜨리기 쉽습니다. 이 구간에서 tan t는 음수이므로 모두 1 이하라는 점을 그래프로 꼭 확인하세요.
t의 범위를 x로 되돌릴 때 π3를 빼는 것이 아니라 더해야 합니다. 마지막에 α, β, γ가 모두 0과 π 사이에 있는지 점검하면 부호 실수를 바로 잡아낼 수 있습니다.

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.