기본 필수
로그함수 그래프 위의 점
원점 대칭과 두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 “직선 y=2x 위에서 원점까지의 거리가 √5인 점”이 정확히 어디인지 먼저 찾아낼 수 있는지를 확인합니다. 로그함수의 식은 복잡해 보이지만, 두 교점 A, B의 좌표만 구하면 나머지는 점을 곡선의 식에 대입하는 익숙한 작업입니다.
두 점이 같은 직선 위에 있고 원점에서의 거리까지 같으므로, 서로 다른 두 점이라면 원점에 대하여 대칭일 수밖에 없습니다. 이렇게 도형 조건을 좌표로 바꾼 뒤, 대입해서 얻은 두 식에서 미지수 a, b를 구하는 흐름이 핵심입니다. 마지막에 a2과 a−2이 함께 나오는 식을 다루는 방법도 연습할 수 있습니다.
단계별 힌트
곡선의 식에서 출발하면 미지수가 너무 많습니다. 먼저 교점 A, B의 좌표부터 구하세요. 두 점은 모두 직선 y=2x 위에 있으므로 좌표를 (m, 2m) 꼴로 쓸 수 있습니다.
원점과 점 (m, 2m) 사이의 거리는 √(m2+(2m)2)입니다. 이 거리가 √5가 되는 m의 값을 구해 보세요. m이 양수인 경우와 음수인 경우가 모두 나온다는 점에 주목하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
√(5m2)=√5에서 m2=1이므로 m=1 또는 m=−1입니다. 따라서 두 점은 (1, 2)와 (−1, −2)이고, 서로 원점에 대하여 대칭입니다.
두 점이 곡선 y=loga(x+b) 위에 있으므로 좌표를 대입하세요. 이때 로그의 정의 logaN=k ⇔ N=ak를 쓰면 로그가 사라지고 1+b=a2, −1+b=a−2 두 식을 얻습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 식을 빼면 b가 사라지고 a2에 대한 식만 남습니다. 양변에 a2을 곱하면 a2에 대한 이차방정식이 되니 a2의 값을 구하세요. 이때 a2은 양수여야 한다는 점을 잊지 마세요. a2을 첫 번째 식에 넣어 b를 구한 뒤 a2b를 계산해 p, q를 읽으면 됩니다.
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정답 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리 조건으로 두 점 A, B의 좌표 구하기
A(m, 2m) (m>0)로 두면 OA=√(m2+(2m)2)=√5m=√5에서 m=1입니다. 두 점 A, B는 같은 직선 위에 있고 원점까지의 거리가 같으므로 원점에 대하여 대칭이고, A(1, 2), B(−1, −2)입니다.
STEP B두 점을 곡선에 대입해 식 두 개 만들기
loga(1+b)=2에서 1+b=a2 ⋯㉠, loga(−1+b)=−2에서 −1+b=a−2 ⋯㉡입니다. 로그의 정의로 로그를 없애면 지수 형태의 연립방정식이 됩니다.
STEP Ca2, b를 구해 p+q 계산하기
㉠−㉡에서 2=a2−a−2이고, 양변에 a2을 곱하면 a4−2a2−1=0입니다. a2>0이므로 a2=1+√2이고, ㉠에서 b=√2입니다. 따라서 a2b=(1+√2)×√2=2+√2이므로 p=2, q=1이고 p+q=3입니다.
1등급 다른 풀이 · 사차방정식을 풀지 않고 b 먼저 구하기
㉠, ㉡을 빼는 대신 더하면 2b=a2+a−2입니다. 즉 b를 알려면 a2+1a2만 알면 됩니다. 한편 ㉠−㉡에서 a2−1a2=2이므로, 곱셈 공식 (u+1u)2=(u−1u)2+4를 쓰면 (a2+1a2)2=22+4=8입니다.
a2+1a2>0이므로 그 값은 2√2이고, 2b=2√2에서 b=√2입니다. 이어서 ㉠에서 a2=1+√2를 얻으므로 a2b=2+√2입니다. ‘합과 차 중 하나를 알면 제곱 관계로 다른 하나를 구한다’는 이 방법은 x+1x 꼴이 나오는 지수·로그 문항에서 계산을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리 조건에서 m=1만 구하고 멈추면 식이 하나밖에 나오지 않아 a, b를 구할 수 없습니다. 서로 다른 두 점이라는 조건에서 m=−1인 점 B도 반드시 함께 찾으세요.
- loga(−1+b)=−2를 −1+b=−a2으로 옮기는 실수가 자주 나옵니다. 로그의 값 −2는 지수 자리로 올라가므로 −1+b=a−2=1a2입니다.
- a4−2a2−1=0을 풀면 a2=1±√2가 나오지만, 1−√2는 음수이므로 제곱수 a2이 될 수 없습니다. 근의 공식을 쓴 뒤에는 부호 조건으로 한 번 걸러 내세요.
- 구하는 값은 a2b가 아니라 p+q입니다. 2+√2에서 p=2, q=1을 읽은 뒤 더하는 마지막 단계까지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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