수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 3 1번

01
실력 완성

01 지수와 로그
공통 값을 문자로 두기
자연수 조건으로 경우 나누기

출제의도

이 문항은 조건 (가)의 ‘같은 값’을 하나의 문자 m으로 두고, 3^a=m을 m^1/a=3처럼 지수를 뒤집은 꼴로 바꿀 수 있는지를 확인합니다. 이렇게 바꾼 두 식을 곱하면 조건 (나)의 1a+1b가 지수 자리에 그대로 나타나, 문제 전체가 mⁿ=81이라는 간단한 식 하나로 정리됩니다.

Level 3 문항답게 핵심은 계산량이 아니라 ‘자연수 조건을 끝까지 쓰는 것’입니다. m=3^4/n이 자연수가 되려면 n이 4의 약수여야 한다는 판단에서 경우가 세 가지로 좁혀지고, 각 경우의 3^a×3^b 값을 모두 구해 최댓값과 최솟값을 골라내야 비로소 답에 도달합니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

조건 (가)에서 3^a와 27^b는 같은 자연수입니다. 이 공통 값을 m으로 두면 3^a=m, 27^b=m이라는 두 식이 생깁니다. 값이 같은 식이 여러 개 나오면 ‘하나의 문자로 두기’가 가장 먼저 할 일입니다.

그다음 a, b를 직접 구하려 하지 말고, 양변을 1a제곱, 1b제곱 해 보세요. 3^a=m이면 m^1/a=3이 됩니다. 이렇게 뒤집어 두면 조건 (나)에 나오는 1a, 1b가 지수 자리에 나타납니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수끼리 더한다는 지수법칙 m^x×m^y=m^x+y를 씁니다. m^1/a=3과 m^1/b=27을 변끼리 곱하면 m^1/a+1/b=3×27=81입니다.

조건 (나)에서 1a+1b는 자연수이므로 이 값을 n으로 두면 mⁿ=81이 됩니다. 81=3⁴이므로 m=81^1/n=3^4/n으로 정리할 수 있습니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

m=3^4/n이 자연수가 되려면 지수 4n이 자연수여야 하므로 n은 4의 약수, 즉 1, 2, 4 중 하나입니다. 각 경우 m의 값을 구한 뒤, 3^a=m이고 27^b=(3^b)³=m이므로 3^b=³√m임을 이용해 3^a×3^b를 계산하세요. 세 값을 비교해 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고르면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ 240³√3

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 3 1번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A공통 값을 m으로 두고 지수 뒤집기

3^a=27^b=m (m은 자연수)이라 하면 m^1/a=3, m^1/b=27입니다. 두 식을 변끼리 곱하면 m^1/a+1/b=81이 되어, 조건 (나)의 식이 지수 자리로 올라옵니다.

STEP B자연수 조건으로 경우 좁히기

1a+1b=n (n은 자연수)이라 하면 mⁿ=81이므로 m=3^4/n입니다. m이 자연수이려면 n은 4의 약수여야 하므로 n=1, 2, 4이고, 이때 m의 값은 차례로 81, 9, 3입니다.

STEP C경우별로 계산해 최댓값과 최솟값 고르기

3^a=m이고 3^b=³√m이므로 3^a×3^b=m×³√m입니다. m=81이면 81×3³√3=243³√3, m=9이면 9³√9, m=3이면 3³√3입니다. m이 클수록 값도 커지므로 p=243³√3, q=3³√3이고, p−q=240³√3이므로 정답은 ⑤입니다.

1등급 다른 풀이 · a와 b의 관계를 먼저 찾기

27=3³이므로 27^b=3^3b이고, 조건 (가)의 3^a=3^3b에서 곧바로 a=3b를 얻습니다. 이를 조건 (나)에 넣으면 13b+1b=43b=n이므로 b=43n, a=4n입니다. 조건 (가)의 값 3^a=3^4/n이 자연수이므로 역시 n=1, 2, 4입니다.

이제 3^a×3^b=3^a+b=3^16/(3n)이고, 지수 163n은 n이 작을수록 커집니다. 따라서 최댓값은 n=1일 때 3^16/3=3⁵×3^1/3=243³√3, 최솟값은 n=4일 때 3^4/3=3³√3이며, n=2인 경우는 크기 비교에 계산할 필요조차 없습니다. 밑을 3으로 맞출 수 있는 문항은 이렇게 지수끼리의 관계식으로 옮기면 경우 나누기와 크기 비교가 한꺼번에 해결됩니다.

실수를 줄이는 전략

조건 (가)의 ‘자연수’는 a, b가 아니라 공통 값 m에 대한 조건입니다. a, b는 양수일 뿐 정수라는 보장이 없으므로(n=4일 때 b=13), a, b에 자연수를 하나씩 대입해 찾으려 하면 경우를 놓칩니다.
m=3^4/n에서 n=3을 넣으면 3^4/3=3³√3이 되어 자연수가 아닙니다. 지수 4n이 자연수가 되는 n, 즉 4의 약수만 남겨야 합니다.
81×³√81에서 멈추면 선택지와 비교할 수 없습니다. 81=27×3이므로 ³√81=3³√3처럼 근호 안에 3만 남도록 끝까지 정리하세요.
경우를 모두 구한 뒤에는 반드시 크기를 비교하세요. 3^a×3^b=m×³√m은 m이 클수록 커지므로, n=2일 때의 값 9³√9는 가운데 값이라 p와 q 어느 쪽에도 쓰이지 않습니다.

엄선된 풀이 영상

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