수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 3 2번

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출제의도

이 문항은 로그 계산과 도형의 넓이를 한 문제 안에서 연결할 수 있는지를 확인합니다. 선분의 길이와 넓이가 모두 로그로 주어져 복잡해 보이지만, 로그는 결국 ‘값이 정해진 수’일 뿐입니다. 도형에서 어떤 비례 관계를 쓸지 먼저 정하고, 로그 계산은 마지막에 한꺼번에 처리하는 것이 핵심입니다.

Level 3답게 넓이 공식을 그대로 대입하는 것만으로는 풀리지 않습니다. 삼각형 ADE와 삼각형 ABE가 꼭짓점 E를 함께 쓰고 밑변이 같은 직선 AB 위에 있다는 점, 그리고 DE와 BC가 평행해서 닮음이 생긴다는 점을 동시에 보아야 합니다. 이 두 관찰을 이으면 긴 계산 없이 넓이의 비 하나로 답이 나옵니다.

단계별 힌트

상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

1등급 다른 풀이 · 높이 하나로 넓이를 바로 쓰기

삼각형 ADE의 넓이에서 높이를 먼저 구해 둡니다. 점 A에서 직선 DE까지의 거리를 h라 하면 12×log₃6×h=12log₃2이므로 h=log₃2log₃6=log₆2입니다. 넓이가 주어진 이유가 바로 이 높이를 알려 주기 위해서라고 보면 됩니다.

이제 삼각형 ABE의 넓이는 12×BC×h로 곧바로 계산됩니다. 삼각형 ABE의 넓이는 삼각형 ABC 넓이의 ADAB배이고, 삼각형 ABC의 높이는 h의 ABAD배이므로 두 비율이 서로 약분되어 사라지기 때문입니다. 따라서 넓이는 12×6log₆2×log₆2=3(log₆2)²입니다. 해설의 등적변형 풀이도 같은 사실을 그림으로 보여 준 것이니, “평행선 사이에서 꼭짓점을 옮겨도 넓이는 그대로”라는 관점과 함께 기억해 두면 비슷한 도형 문항을 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.

실수를 줄이는 전략

• 닮음이 보이면 습관적으로 넓이의 비를 길이의 비의 제곱으로 쓰기 쉽습니다. 제곱이 되는 것은 닮은 두 삼각형 ADE와 ABC의 넓이의 비입니다. 이 문항에서 비교하는 ADE와 ABE는 높이가 같은 삼각형이므로 넓이의 비는 길이의 비와 그대로 같습니다.
• log_√68을 계산할 때 밑 √6의 지수 12을 곱해서 32log₆2로 쓰는 실수가 자주 나옵니다. 밑의 지수는 분모로 내려가므로 3÷12=6입니다.
• log₃2log₃6을 log₃26이나 log₃2−log₃6으로 바꾸면 안 됩니다. 진수의 나눗셈이 아니라 로그끼리의 나눗셈이므로 밑의 변환 공식을 거꾸로 써서 log₆2로 바꿉니다.
• 답의 (log₆2)²을 log₆4로 줄이지 마세요. 로그의 제곱은 진수의 제곱과 다릅니다. 선택지가 모두 (log₆2)²의 몇 배인 꼴이므로, 계수가 정확한지만 마지막에 한 번 더 확인하면 됩니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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