행복한 일등급문제
2024년 09월 고1 학력평가 28번
점과 직선 사이의 거리
두 직선의 평행
이차함수의 꼭짓점
출제의도
이 문항의 핵심은 ‘사각형 APRQ가 정사각형’이라는 한 문장을 서로 다른 두 개의 식으로 쪼개는 데 있습니다. Q, R이 모두 직선 BC에 내린 수선의 발이므로 AQ와 PR은 이미 BC에 수직입니다. 여기서 정사각형이 되려면 나머지 한 쌍인 AP와 QR이 평행해야 하고, 동시에 이웃한 두 변 AP와 AQ의 길이가 같아야 합니다. 평행 조건은 미지수 a를, 길이 조건은 최고차항의 계수 k를 각각 결정합니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라 조건을 언제 어떤 도구로 번역할지를 스스로 정해야 하기 때문입니다. AQ의 길이를 좌표로 직접 구하려 들면 수선의 발의 좌표를 계산하는 늪에 빠지지만, 점과 직선 사이의 거리 공식으로 읽으면 한 줄에 끝납니다. 조건 두 개를 순서대로 쓰는 설계 능력을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
x축과 만나는 두 점이 A(2, 0), B(a, 0)이므로 최고차항의 계수를 k라 하면 f(x)=k(x−2)(x−a)로 놓을 수 있습니다. 이 한 줄에서 y절편 C와 꼭짓점 P의 좌표가 모두 a, k로 표현됩니다.
이제 그림을 보세요. Q, R이 직선 BC 위의 수선의 발이므로 변 QR은 직선 BC 자체입니다. 사각형 APRQ가 정사각형이면 마주 보는 변 AP와 QR(=BC)이 평행해야 합니다. 기울기를 두 개 만들어 같다고 놓으면 a가 먼저 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a가 정해지면 남은 미지수는 k 하나뿐입니다. 이때 쓸 조건은 ‘이웃한 두 변의 길이가 같다’, 즉 AP=AQ입니다. AP는 두 점 A와 P 사이의 거리로 바로 나오고, AQ는 수선의 발까지의 거리이므로 점 A와 직선 BC 사이의 거리 공식으로 구하는 것이 정석입니다. Q의 좌표를 구할 필요가 전혀 없습니다.
직선 BC의 방정식을 일반형 2kx+y−12k=0으로 정리해 두고, 양변을 제곱해서 AP²=AQ²로 처리하세요. 정리하면 k에 대한 식이 완전제곱 꼴로 떨어져 k가 하나로 확정됩니다. 마지막에 묻는 것이 k가 아니라 f(12)라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 f(12) = 30
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A꼭짓점 P와 점 C의 좌표를 a, k로 표현
x축과 만나는 두 점의 x좌표가 2, a이므로 f(x)=k(x−2)(x−a) (k>0)입니다. y축과 만나는 점은 x=0을 대입해 C(0, 2ak)이고, f(x)=k(x−(a+2)/2)²−k(a−2)²/4로 고치면 꼭짓점은 P((a+2)/2, −k(a−2)²/4)입니다.
STEP BAP ∥ BC를 이용해 a 구하기
두 점 A(2, 0), P((a+2)/2, −k(a−2)²/4)을 지나는 직선 AP의 기울기는 −k(a−2)/2이고, 두 점 B(a, 0), C(0, 2ak)를 지나는 직선 BC의 기울기는 (2ak−0)/(0−a)=−2k입니다.
평행 조건 — 사각형 APRQ가 정사각형이므로 AP와 BC는 평행합니다. 즉 −k(a−2)/2=−2k에서 a−2=4, 따라서 a=6
이로써 B(6, 0), C(0, 12k), 꼭짓점 P(4, −4k)가 모두 k 하나로 정리됩니다.
STEP CAP=AQ를 이용해 k 구하기
두 점 B(6, 0), C(0, 12k)를 지나는 직선의 방정식은 2kx+y−12k=0입니다. 선분 AQ의 길이는 점 A(2, 0)과 이 직선 사이의 거리와 같으므로
AQ = |2k×2+0−12k| / √((2k)²+1²) = |−8k| / √(4k²+1)
AP = √((4−2)²+(−4k−0)²) = √(16k²+4)
정사각형이므로 AP=AQ, 양변을 제곱하면 16k²+4 = 64k²/(4k²+1)입니다. 분모를 곱해 정리하면 (4k²+1)²=16k², 즉 (4k²−1)²=0이므로 k²=1/4이고, k>0이므로 k=1/2입니다.
STEP Df(12)의 값 계산
따라서 f(x)=(1/2)(x−2)(x−6)이므로 f(12)=(1/2)×10×6=30입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 평행선 사이의 거리로 읽기
AP와 BC가 평행하다는 것이 확정된 뒤에는, 정사각형의 한 변 AQ를 ‘점과 직선 사이의 거리’가 아니라 두 평행선 사이의 거리로 보면 계산이 한 단계 더 짧아집니다.
a=6일 때 직선 AP는 점 A(2, 0)을 지나고 기울기가 −2k이므로 2kx+y−4k=0이고, 직선 BC는 2kx+y−12k=0입니다. 두 평행선 사이의 거리는 |−4k−(−12k)| / √(4k²+1) = 8k / √(4k²+1)이며, 이 값이 곧 정사각형의 한 변 AQ입니다.
한편 다른 한 변 AP=√(16k²+4)=2√(4k²+1)이므로 8k/√(4k²+1)=2√(4k²+1)에서 8k=2(4k²+1), 즉 4k²−4k+1=0, (2k−1)²=0으로 제곱을 거치지 않고 곧바로 k=1/2이 나옵니다. 정사각형의 한 변이 ‘두 평행선 사이의 간격’이라는 시각을 갖고 있으면 분수식을 제곱하는 과정을 통째로 건너뛸 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 정사각형 조건은 반드시 두 개의 식으로 분해하세요. ‘평행’만 쓰면 a만 나오고, ‘길이’만 쓰면 미지수가 둘 남아 어느 쪽도 답에 도달하지 못합니다.
- 수선의 발 Q, R의 좌표를 직접 구하려 하지 마세요. 연립방정식을 세우는 순간 k가 분모에 들어가 계산이 폭발합니다. 수선의 발까지의 길이는 점과 직선 사이의 거리 공식이 정답 도구입니다.
- 직선 BC를 y=−2x+12k 꼴로 두면 거리 공식에 넣기 어렵습니다. 반드시 일반형 2kx+y−12k=0으로 정리한 뒤 대입하세요.
- (4k²−1)²=0은 중근입니다. 근이 하나로 떨어지는 것이 이상한 게 아니라, 정사각형이 되는 포물선이 딱 하나뿐이라는 뜻입니다. 여기서 k=±1/2로 두 개를 남기면 안 되고, 문제의 k>0 조건으로 즉시 확정됩니다.
- 마지막에 묻는 것은 k도 a도 아닌 f(12)입니다. k=1/2까지 맞게 구하고도 대입을 잊어 오답이 되는 경우가 가장 많습니다.
엄선된 풀이 영상
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