2017년 03월 고2 학력평가 가형 19번
수직이등분선
내분점과 무게중심
닮음비
출제의도
이 문항은 조건이 세 겹으로 쌓여 있습니다. 이등변삼각형이라는 조건, 두 변을 1:3으로 내분한 점으로 만든 작은 삼각형, 그리고 그 무게중심까지의 거리. 하나씩 번역해 내려가지 않으면 어디서 시작할지 감이 잡히지 않습니다.
핵심 전환점은 주어진 CG를 CM으로 갈아타는 것입니다. CG는 작은 삼각형 CPQ의 정보지만, 점 C의 좌표를 결정하는 열쇠는 큰 삼각형의 중선 CM입니다. 무게중심의 2:1 성질과 닮음비 3:4를 연달아 써서 CG = √10에서 CM = 2√10을 끌어내는 이 구간이 정답과 오답을 가릅니다. 나머지는 AC = BC를 수직이등분선으로 옮기고 거리 공식을 쓰는 표준 작업입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. 첫 번째 식은 AC = BC에서 나옵니다. 이등변삼각형에서 꼭짓점 C와 밑변 AB의 중점 M을 잇는 선분은 밑변과 수직이므로, 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. M의 좌표와 직선 AB의 기울기만 구하면 직선 CM의 방정식이 나오고, 여기에 C(a, b)를 대입한 것이 첫 번째 관계식입니다.
두 번째 식은 CG = √10에서 나와야 합니다. 그런데 G는 작은 삼각형 CPQ의 무게중심이라 C의 좌표와 직접 연결되지 않습니다. CG를 CM으로 바꿔 놓는 것이 이 문제의 관문입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P, Q가 각각 CA, CB를 1:3으로 내분하므로 CP : CA = CQ : CB = 3 : 4이고, 따라서 PQ는 AB와 평행합니다. 선분 CM과 PQ의 교점을 R이라 하면 R은 PQ의 중점, 즉 삼각형 CPQ의 중선 위의 점이고 CR : CM = 3 : 4입니다.
G는 삼각형 CPQ의 무게중심이므로 중선 CR를 2:1로 내분해 CG = (2/3)CR입니다. 이 두 비를 이어 붙이면 CG로부터 CM이 결정됩니다.
CM의 길이를 얻은 다음에는 거리 공식 CM = √((a−9)² + (b−3)²)에 첫 번째 관계식을 대입해 a를 구하세요. 두 값이 나오는데, 마지막에 점 C가 제1사분면 위에 있다는 단서로 하나를 걸러내야 합니다.
정답 확인
정답 ④ a + b = 20
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이등변 조건 → a와 b의 관계식
A(0, 6), B(18, 0)에서 선분 AB의 중점은 M(9, 3)입니다. 삼각형 ABC가 AC = BC인 이등변삼각형이므로 AB ⊥ CM입니다.
직선 AB의 기울기가 (0−6)/(18−0) = −1/3이므로 직선 CM의 기울기는 3이고, M(9, 3)을 지나므로 y − 3 = 3(x − 9), 즉 y = 3x − 24입니다. 점 C(a, b)가 이 직선 위에 있으므로
b = 3a − 24 ⋯⋯ ㉠
STEP BCG = √10 → CM = 2√10
두 선분 CM과 PQ의 교점을 R이라 하겠습니다. 점 G는 삼각형 CPQ의 무게중심이므로 중선을 2:1로 내분하여 CG = (2/3)CR, 즉 CR = (3/2)CG = (3/2)√10입니다.
한편 P는 선분 AC를 1:3으로 내분하는 점이므로 CP : CA = 3 : 4이고, PQ ∥ AB이므로 삼각형 CPR와 삼각형 CAM이 닮음입니다. 따라서 CR : CM = 3 : 4이고
CM = 43 × 32√10 = 2√10
같은 결과를 큰 삼각형의 무게중심 G′로도 얻을 수 있습니다. 두 삼각형 CAB와 CPQ가 닮음비 4:3이므로 CG′ : CG = 4 : 3에서 CG′ = (4/3)√10이고, CM = (3/2)CG′ = 2√10입니다.
STEP C거리 공식으로 C의 좌표 결정
C(a, b)와 M(9, 3) 사이의 거리가 2√10이므로 √((a−9)² + (b−3)²) = 2√10 ⋯⋯ ㉡입니다.
㉠에서 b − 3 = 3a − 27 = 3(a − 9)이므로 ㉡에 대입하면 (a−9)² + 9(a−9)² = 40, 즉 10(a−9)² = 40에서 (a−9)² = 4, a − 9 = ±2입니다.
따라서 a = 7 또는 a = 11이고, ㉠에 넣으면 b = −3 또는 b = 9이므로 C의 좌표는 (7, −3) 또는 (11, 9)입니다.
그런데 점 C는 제1사분면 위의 점이므로 x좌표와 y좌표가 모두 양수여야 하고, C(11, 9)만 조건을 만족합니다. 따라서 a = 11, b = 9이므로 a + b = 20입니다.
1등급 다른 풀이 · 점과 직선 사이의 거리로 처리하기
STEP C에서 두 점 사이의 거리 대신 점과 직선 사이의 거리를 쓰면, 좌표를 나누어 다루지 않고 한 번에 정리됩니다.
직선 AB는 x절편이 18, y절편이 6이므로 x/18 + y/6 = 1, 즉 x + 3y − 18 = 0입니다. CM ⊥ AB이므로 선분 CM의 길이는 곧 점 C(a, b)와 직선 AB 사이의 거리와 같습니다.
|a + 3b − 18| ÷ √(1² + 3²) = 2√10 → |a + 3b − 18| = 20 → a + 3b = 38 또는 a + 3b = −2
여기에 ㉠의 b = 3a − 24를 대입하면 a + 9a − 72 = 38에서 a = 11, a + 9a − 72 = −2에서 a = 7이 나오고, 각각 b = 9, b = −3입니다. 제1사분면 조건으로 C(11, 9)를 택하면 a + b = 20으로 같은 답에 도달합니다.
두 갈래의 부호(±20)가 직선의 어느 쪽에 C가 놓이는지를 뜻한다는 점까지 이해하면, 마지막에 사분면 조건이 왜 필요한지도 자연스럽게 설명됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 이등변삼각형이 나오면 꼭짓점 – 밑변의 중점을 잇는 선분을 가장 먼저 그으세요. 이 선분이 밑변의 수직이등분선이라는 사실 하나가 관계식 ㉠을 만들어 줍니다.
- CG를 CM으로 바꿀 때 비율을 두 번 써야 합니다. 무게중심의 2:1과 닮음비 3:4를 하나만 쓰고 넘어가면 CM이 (3/2)√10이나 (8/3)√10처럼 어긋납니다.
- 내분비 1:3은 AP : PC = 1 : 3을 뜻하므로 CP : CA = 3 : 4입니다. 1:3을 그대로 CP : CA로 쓰는 것이 가장 흔한 실수입니다.
- (a−9)² = 4에서 a − 9 = ±2로 두 값을 모두 살려야 합니다. 양수 근만 취해 a = 11만 남기면 우연히 답은 맞지만, 사분면 조건을 쓰는 논리가 빠져 서술형에서는 감점됩니다.
- 마지막 제1사분면 조건을 반드시 확인하세요. C(7, −3)은 모든 거리 조건을 만족하지만 y좌표가 음수라 제외됩니다. 이 단서를 놓치면 a + b = 4가 되어 선택지에 없는 값이 나옵니다.