행복한 일등급문제
2021년 09월 고1 학력평가 18번
선분의 내분점
두 직선의 교점
빈칸 추론
출제의도
빈칸 추론형 문항입니다. 주어진 풀이 과정이 이미 길을 다 깔아 놓았기 때문에, 새로운 발상을 요구하기보다 바로 앞뒤 문장이 요구하는 형태로 정확히 답을 맞춰 넣는 능력을 봅니다. (가)는 직선 BP의 기울기, (나)는 두 직선의 교점 R의 x좌표, (다)는 넓이 조건에서 결정되는 n의 값입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 마지막 한 줄 때문입니다. (가)와 (나)는 각각 n에 대한 식 f(n), g(n)으로, (다)는 수 k로 받은 다음, 그 k를 다시 f와 g에 대입해 g(k)/f(k)를 계산해야 합니다. 빈칸을 다 맞히고도 마지막 대입에서 부호나 대입 대상을 헷갈려 답이 뒤집히는 일이 자주 일어납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 P, Q의 좌표를 확인하세요. P는 선분 OA를 1 : n으로 내분하므로 P(0, 1/(n+1)), Q는 선분 OB를 1 : n으로 내분하므로 Q(1/(n+1), 0)입니다. 문제의 풀이 과정이 이미 이 두 좌표를 알려주고 있으니, 여기서부터는 직선의 방정식 만들기가 전부입니다.
(가)는 두 점 B(1, 0)과 P(0, 1/(n+1))을 지나는 직선의 기울기입니다. 빈칸 뒤에 붙은 상수항이 1/(n+1)이라는 점, 즉 이미 y절편이 채워져 있다는 점을 힌트로 삼으세요. x절편이 1, y절편이 1/(n+1)이므로 절편 형태 x/1 + y/(1/(n+1)) = 1로 세워도 같은 결과가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
(나)는 직선 AQ와 직선 BP를 연립해서 얻는 교점 R의 x좌표입니다. 두 식을 같다고 놓고 양변에 n+1을 곱하면 분수가 한 번에 정리되고, {(n+1)²−1}x=n에서 (n+1)²−1=n(n+2)로 인수분해되는 것이 계산의 핵심입니다.
마지막 (다)는 넓이 조건입니다. 두 삼각형 POR와 QOR가 합동이므로 사각형 POQR의 넓이는 삼각형 POR 넓이의 2배이고, 정리하면 1/{(n+1)(n+2)}가 됩니다. 이것을 1/42와 같다고 놓으면 42=6×7이라는 연속한 두 수의 곱이 눈에 들어옵니다. n을 구한 뒤에는 그 값을 k로 두고 f(k), g(k)를 각각 계산해 나눗셈의 부호까지 확인하세요.
정답 확인
정답 ② g(k)/f(k) = −6/7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 직선 AQ, BP의 방정식 — 빈칸 (가)
P는 선분 OA를 1 : n으로 내분하므로 P(0, 1/(n+1)), Q는 선분 OB를 1 : n으로 내분하므로 Q(1/(n+1), 0)입니다.
직선 AQ — 두 점 A(0, 1), Q(1/(n+1), 0)을 지나므로 y = −(n+1)x+1 … ㉠
직선 BP — 두 점 B(1, 0), P(0, 1/(n+1))을 지나므로 기울기는 {1/(n+1)−0}/(0−1) = −1/(n+1), 즉 y = −1/(n+1) × x + 1/(n+1) … ㉡
따라서 (가) = −1/(n+1)이고, 이것이 f(n)입니다. x절편이 1, y절편이 1/(n+1)임을 이용해 x/1 + y/{1/(n+1)} = 1로 세워도 같은 식이 나옵니다.
STEP B교점 R의 x좌표와 넓이 — 빈칸 (나), (다)
㉠, ㉡을 연립하면 −(n+1)x+1 = −x/(n+1) + 1/(n+1)입니다. 양변에 n+1을 곱하면 −(n+1)²x+n+1 = −x+1이고, {(n+1)²−1}x = n에서 (n+1)²−1 = n(n+2)이므로 n(n+2)x = n, 즉 n>0에서 x = 1/(n+2)입니다.
(나) = 1/(n+2) — 이것이 g(n)입니다.
삼각형 POR의 넓이는 (1/2)×OP×(R의 x좌표) = (1/2)×1/(n+1)×1/(n+2)입니다. 두 삼각형 POR와 QOR는 OR가 공통, OP=OQ, ∠POR=∠QOR이므로 SAS 합동이고, 따라서 사각형 POQR의 넓이는 그 2배인 1/{(n+1)(n+2)}입니다.
넓이 조건 — 1/{(n+1)(n+2)} = 1/42에서 (n+1)(n+2)=42, 즉 n²+3n−40=0, (n−5)(n+8)=0이므로 n>0에서 (다) = 5
STEP Cg(k)/f(k)의 값 계산
f(n) = −1/(n+1), g(n) = 1/(n+2), k = 5이므로 f(5) = −1/6, g(5) = 1/7입니다. 따라서 g(k)/f(k) = (1/7) ÷ (−1/6) = −6/7입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선 y=x 대칭으로 읽기
이 그림은 처음부터 직선 y=x에 대해 대칭입니다. A(0, 1)과 B(1, 0), P(0, 1/(n+1))과 Q(1/(n+1), 0)이 서로 y=x 대칭인 짝이고, 따라서 직선 AQ와 직선 BP도 y=x 대칭인 두 직선입니다.
대칭인 두 도형의 교점은 대칭축 위에 놓이므로, 두 직선의 교점 R는 직선 y=x 위의 점입니다. 그러면 연립할 필요 없이 ㉠에 y=x를 대입해 x = −(n+1)x+1, 즉 (n+2)x=1에서 곧바로 x=1/(n+2)를 얻습니다. 해설의 연립 과정 전체가 한 줄로 줄어듭니다.
같은 관점에서 삼각형 POR와 QOR의 합동도 자명해집니다. 두 삼각형이 y=x에 대한 대칭 관계이기 때문입니다. 사각형 POQR는 대각선 OR가 자기 자신을 두 개의 대칭 조각으로 나누는 연꼴이므로, 넓이는 삼각형 하나의 2배로 즉시 계산됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 내분점의 위치를 반대로 잡는 실수가 가장 흔합니다. 1 : n에서 1이 원점 쪽 조각이므로 n이 커질수록 P, Q는 원점에 가까워집니다. OP=1/(n+1)이 1보다 작다는 점으로 검산하세요.
- (가) 자리에는 기울기만 들어갑니다. 빈칸 뒤에 이미 ×x와 +1/(n+1)이 인쇄되어 있으므로 직선 전체를 써넣으면 형식이 어긋납니다. 빈칸 앞뒤의 꼴을 먼저 읽는 습관이 중요합니다.
- 연립 과정에서 (n+1)²−1을 그냥 n²+2n으로 두지 말고 n(n+2)로 인수분해하세요. 양변의 n이 약분되면서 x=1/(n+2)가 깔끔하게 남습니다.
- (n+1)(n+2)=42는 이차방정식으로 풀어도 되지만, 42=6×7이라는 연속한 두 자연수의 곱을 알아보면 n+1=6에서 n=5가 즉시 나옵니다. 다만 답안에는 (n−5)(n+8)=0과 n>0을 함께 적는 것이 안전합니다.
- 마지막 계산에서 대입 대상과 부호를 확인하세요. 구하는 것은 f(k)/g(k)가 아니라 g(k)/f(k)이고, f(5)가 음수이므로 결과도 음수입니다. 6/7로 답하면 부호 하나로 오답이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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