2023년 11월 고1 학력평가 26번
접선과 판별식
두 직선의 수직 조건
근과 계수의 관계
출제의도
이 문항은 ‘접한다’와 ‘수직이다’라는 두 조건을 각각 무엇으로 번역해야 하는지를 묻습니다. 접한다는 판별식 D=0으로, 수직이다는 기울기의 곱이 −1로 옮기는 순간 문제는 m에 대한 이차방정식 하나로 압축됩니다.
진짜 요구는 마지막 단계에 있습니다. 두 접선의 기울기 m₁, m₂를 각각 구하려 들면 미지수 a가 남아 있어 계산이 막힙니다. 이 이차방정식의 두 근이 곧 두 접선의 기울기라는 사실을 알아채고 근과 계수의 관계로 곱과 합을 동시에 다뤄야 합니다. 근을 구하지 않고 근의 정보만 뽑아 쓰는 태도를 훈련시키는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 (a, a)를 지나고 기울기가 m인 직선을 y − a = m(x − a)로 놓는 것에서 출발합니다. 이 직선이 곡선 y = x²−4x+10에 접하므로, 두 식을 연립해 얻은 이차방정식이 중근을 가져야 합니다.
여기서 시선을 바꿔야 합니다. 연립 결과를 정리하면 x에 대한 이차방정식이 나오고, 그 판별식을 0으로 두면 이번에는 m에 대한 이차방정식이 됩니다. 접선이 두 개라는 말은 이 m 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 뜻이고, 두 근이 곧 두 접선의 기울기입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
연립하면 x² − (m+4)x + am − a + 10 = 0이 됩니다. 판별식을 0으로 두고 m에 대해 정리하면 m² + (8−4a)m + 4a − 24 = 0 꼴이 나옵니다. 여기서 m을 직접 풀지 마세요.
두 근을 m₁, m₂라 하면 근과 계수의 관계로 m₁ + m₂ = 4a − 8, m₁m₂ = 4a − 24입니다. 두 접선이 수직이라는 조건은 m₁m₂ = −1이므로 이 식으로 4a의 값을 먼저 확정하고, 그 값을 합의 식에 그대로 대입하면 답이 나옵니다. a를 분수로 구해 대입하려 하지 말고 4a를 한 덩어리로 다루는 것이 요령입니다.
정답 확인
정답 m₁ + m₂ = 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접한다 → 판별식 D = 0
점 (a, a)를 지나고 기울기가 m인 직선은 y − a = m(x − a), 즉 y = mx − am + a입니다. 이 직선이 곡선 y = x² − 4x + 10에 접하므로 두 식을 연립하면
x² − 4x + 10 = mx − am + a → x² − (m+4)x + am − a + 10 = 0
이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 D = 0입니다.
D = (m+4)² − 4(am − a + 10) = m² + 8m + 16 − 4am + 4a − 40 = 0이고, 정리하면 m² + (8−4a)m + 4a − 24 = 0입니다.
STEP B수직 조건으로 4a 확정하기
접선이 두 개이므로 위 m에 대한 이차방정식은 서로 다른 두 실근 m₁, m₂를 갖고, 이 두 근이 곧 두 접선의 기울기입니다. 근과 계수의 관계에서
m₁ + m₂ = 4a − 8, m₁m₂ = 4a − 24
두 접선이 서로 수직이므로 m₁m₂ = −1입니다. 따라서 4a − 24 = −1에서 4a = 23입니다.
STEP C기울기의 합 계산
4a = 23을 합의 식에 그대로 대입하면 m₁ + m₂ = 4a − 8 = 23 − 8 = 15입니다.
a = 23/4을 굳이 구해서 대입할 필요가 없다는 점이 계산 시간을 크게 줄여 줍니다.
1등급 다른 풀이 · 준선으로 한 줄에 읽기
포물선의 성질을 알고 있으면 판별식을 세우기 전에 a의 값이 먼저 보입니다.
주어진 곡선은 y = x² − 4x + 10 = (x−2)² + 6이므로, 꼭짓점이 (2, 6)이고 (x−2)² = y − 6, 즉 (x−2)² = 4p(y−6) 꼴에서 4p = 1, p = 1/4입니다. 포물선에는 서로 수직인 두 접선의 교점은 항상 준선 위에 놓인다는 성질이 있고, 이 포물선의 준선은 꼭짓점에서 p만큼 아래인 y = 6 − 1/4 = 23/4입니다.
두 접선의 교점이 (a, a)이므로 그 y좌표 a가 곧 준선의 높이입니다. 즉 a = 23/4이고 4a = 23이 계산 없이 나옵니다. 이후 기울기의 합 4a − 8 = 15만 확인하면 끝입니다.
준선 성질은 고1 교육과정 밖이므로 서술형 답안에는 쓰지 말고, 객관식·단답형에서 답을 미리 확인하는 검산용으로 쓰는 것이 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- 판별식을 세운 뒤 누구에 대한 방정식인지를 분명히 하세요. x에 대한 D=0이 m에 대한 이차방정식으로 바뀌는 이 전환이 문제의 전부입니다.
- m₁, m₂를 근의 공식으로 직접 구하려 하면 a가 남아 식이 폭발합니다. 묻는 것이 합이므로 근과 계수의 관계만으로 충분합니다.
- 부호에 주의하세요. m² + (8−4a)m + ⋯ 에서 합은 −(8−4a) = 4a − 8입니다. 여기서 부호를 놓치면 −15가 나옵니다.
- a를 구한 뒤 대입하지 말고 4a를 통째로 넘기세요. 두 식이 모두 4a로 정리되어 있으므로 분수 계산이 아예 필요 없습니다.
- ‘서로 다른 두 실근’이라는 전제도 짚어두면 좋습니다. 접선이 두 개 존재한다는 조건이 곧 판별식이 양수라는 뜻이며, 이 문항에서는 4a = 23으로 자동 충족됩니다.
내신연계 출제문항 155
같은 구조를 숫자만 바꿔 연습해 보세요. 풀이 순서는 위와 완전히 동일합니다.
내신연계 155 · 풀이 확인
점 (−a, 2a)를 지나고 기울기가 m인 직선은 y = mx + am + 2a입니다. 곡선과 연립하면 x² + (3−m)x − am − 2a − 3 = 0이고, 접하므로 판별식 D = 0입니다.
D = (3−m)² − 4(−am − 2a − 3) = 0을 정리하면 m² − (6−4a)m + 8a + 21 = 0입니다.
두 근 m₁, m₂에 대해 m₁ + m₂ = 6 − 4a, m₁m₂ = 8a + 21이고, 수직 조건에서 8a + 21 = −1이므로 8a = −22, 즉 4a = −11입니다.
따라서 m₁ + m₂ = 6 − 4a = 6 + 11 = 17