최다빈출 왕중요
점과 직선 사이의 거리
종이접기와 대칭
좌표평면 도입
출제의도
이 문항은 좌표가 하나도 주어지지 않은 순수 도형 상황을, 푸는 사람이 직접 좌표평면 위에 올려놓아야 비로소 계산이 시작되는 문제입니다. 종이접기 그림만 보고 있으면 손댈 곳이 없지만, 축을 잡는 순간 남은 과정은 점과 직선 사이의 거리 공식 한 줄로 끝납니다.
최다빈출·왕중요로 배치된 이유는 이 좌표 도입이라는 발상 자체가 단원 전체의 핵심 도구이기 때문입니다. 게다가 ‘접었다’는 말을 길이 보존 조건으로 번역하지 못하면 A′의 위치를 확정할 수 없습니다. 발상 두 개(축 잡기, 접기=길이 보존)를 연달아 요구한다는 점에서 난이도가 계산량과 무관하게 형성되는 유형입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
좌표가 없으면 만들어 쓰면 됩니다. M이 AB의 중점, N이 CD의 중점이므로 직선 MN이 정사각형의 대칭축입니다. 그렇다면 M을 원점, 직선 AB를 x축, 직선 MN을 y축으로 잡는 것이 가장 깔끔합니다. 한 변의 길이가 2이므로 각 꼭짓점의 좌표가 곧바로 정해집니다.
다음으로 ‘접었다’를 식으로 옮기세요. 접기는 대칭이동이므로 대응하는 선분의 길이는 변하지 않습니다. 즉 A′B = AB입니다. 점 A′은 y축 위에 있고 B까지의 거리를 알고 있으니, A′의 좌표는 직각삼각형 하나로 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A(−1, 0), B(1, 0)이고 A′은 y축 위의 점이므로 A′(0, t) 꼴입니다. 직각삼각형 A′MB에서 빗변 A′B의 길이는 2, 밑변 MB의 길이는 1이므로 피타고라스 정리로 A′M을 구하면 t가 확정됩니다.
A′과 B를 알면 직선 A′B의 방정식을 세울 수 있습니다. 마지막으로 묻는 것은 점 A와 직선 A′B 사이의 거리이므로, 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 정리한 뒤 거리 공식에 A의 좌표를 대입하세요. 분모의 √((√3)²+1²) 계산에서 실수가 자주 나옵니다.
정답 확인
정답 √3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A정사각형을 좌표평면 위에 올리고 A′의 좌표 구하기
M을 원점, 직선 AB를 x축, 직선 MN을 y축으로 두면 AM = MB = 1이므로 A(−1, 0), B(1, 0)입니다. 접기는 대칭이동이므로 A′B = AB = 2이고, 점 A′은 선분 MN 위, 곧 y축 위에 있습니다.
직각삼각형 A′MB에서 피타고라스 정리를 쓰면 A′M = √(A′B² − MB²) = √(2² − 1²) = √3이므로 A′(0, √3)입니다.
STEP B직선 A′B의 방정식 세우기
두 점 A′(0, √3), B(1, 0)을 지나는 직선의 기울기는 (0−√3)/(1−0) = −√3이므로 y − 0 = −√3(x − 1), 정리하면 √3x + y − √3 = 0입니다.
거리 공식에 넣으려면 반드시 우변을 0으로 만든 이 꼴까지 정리해 두어야 합니다.
STEP C점 A와 직선 사이의 거리 계산
점 A(−1, 0)과 직선 √3x + y − √3 = 0 사이의 거리는
|√3×(−1) + 0 − √3| ÷ √((√3)² + 1²) = 2√32 = √3
분자는 |−2√3| = 2√3, 분모는 √(3+1) = 2이므로 구하는 거리는 √3입니다.
1등급 다른 풀이 · 정삼각형으로 읽기
좌표를 도입하지 않고도, 삼각형 A′AB의 정체를 파악하면 계산 없이 끝납니다.
먼저 점 A′은 정사각형 모양의 종이를 접었을 때 점 A가 이동한 점이므로 AB = A′B = 2입니다. 한편 선분 A′M은 선분 AB의 수직이등분선이므로, 그 위의 점 A′에서 두 끝점까지의 거리가 같아 A′A = A′B가 됩니다.
두 관계를 합치면 A′A = A′B = AB = 2, 즉 삼각형 A′AB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형입니다. 그런데 점 A와 직선 A′B 사이의 거리는 밑변을 A′B로 볼 때의 높이와 같으므로, 정삼각형의 높이 공식으로 (√3/2)×2 = √3이 즉시 나옵니다.
거리 공식을 쓰는 정공법은 어떤 문제에도 통하는 안전한 길이고, 이 정삼각형 관찰은 시험장에서 30초를 벌어주는 길입니다. 두 가지를 모두 확인해 두는 것이 이 문항의 학습 효율을 가장 높이는 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표를 어디에 놓느냐가 계산량을 좌우합니다. A를 원점으로 잡으면 A′의 x좌표가 1이 되어 식이 지저분해집니다. 대칭축(MN)을 y축으로, 대칭축과 만나는 변(AB)을 x축으로 놓는 것이 정석입니다.
- ‘접었다’는 조건은 반드시 대응변의 길이가 같다로 번역하세요. A′B = AB = 2를 쓰지 않으면 A′의 좌표를 구할 근거가 사라집니다.
- 점 A′이 선분 MN 위에 있다는 단서는 x좌표가 0이라는 뜻입니다. 이 한 줄을 놓치면 미지수가 둘로 늘어납니다.
- 거리 공식을 쓰기 전에 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 정리하세요. y = −√3x + √3 상태로 대입하면 분모가 틀립니다.
- 묻는 것은 점 A와 직선 A′B 사이의 거리이지 선분 A′A의 길이가 아닙니다. 정삼각형 풀이에서는 A′A = 2가 눈앞에 보이므로 특히 혼동하기 쉽습니다.