최다빈출 왕중요
TOUGH
정점을 지나는 직선
점과 직선 사이의 거리
최댓값
출제의도
이 문항의 주인공은 (2x−y−1)+k(3x+y−4)=0이라는 한 줄짜리 식입니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선은 무수히 많은데, 그 무수히 많은 직선을 매개변수 k 하나로 전부 묶어버리는 표현이죠. 이 식을 세우는 순간 문제는 ‘직선을 찾는 문제’에서 ‘k에 대한 함수의 최댓값을 구하는 문제’로 성격이 바뀝니다.
왕중요·TOUGH 태그가 함께 붙은 이유는, 식을 세운 뒤의 마무리가 만만치 않기 때문입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하면 분자에서 k가 전부 소거되고 분모에만 남는 형태가 나오는데, 이때 분수의 최댓값을 분모의 최솟값으로 바꿔 읽는 전환을 해내야 합니다. 계산으로 끝까지 밀어붙이는 길과, 교점을 직접 구해 기하적으로 한 번에 끝내는 길이 극명하게 갈리는 문항이기도 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 직선 ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0의 교점을 지나는 직선은 (ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0으로 한꺼번에 나타낼 수 있습니다. 문제에서 거리를 f(k)라고 부른 것 자체가 “이 표현을 쓰라”는 신호입니다.
먼저 (2x−y−1)+k(3x+y−4)=0을 x, y에 대해 정리해서 계수를 뽑아내세요. 그다음 점과 직선 사이의 거리 공식 |ax₁+by₁+c|÷√(a²+b²)에 A(2, −2)를 대입하면 f(k)가 완성됩니다. 여기까지가 절반입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
거리 공식의 분자를 계산해 보면 k가 붙은 항들이 전부 상쇄되어 상수만 남습니다. 분자가 상수라는 것은 곧 f(k)의 최댓값이 오직 분모에 달려 있다는 뜻입니다. 분자는 고정, 분모가 작아질수록 분수는 커지므로 f(k) 최대 ⇔ 분모 최소 ⇔ 근호 안 이차식 최소로 목표를 바꿔 적으세요.
근호 안은 k에 대한 이차식이 되니 완전제곱 꼴로 고쳐 최솟값을 잡으면 됩니다. 마지막에 √ 안에 분수가 들어간 형태를 정리할 때는 분모를 유리화해서 보기 좋은 꼴로 바꾸는 것을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ② f(k)의 최댓값 = √10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점을 지나는 직선의 방정식 세우기
두 직선 2x−y−1=0, 3x+y−4=0의 교점을 지나는 직선은 (2x−y−1)+k(3x+y−4)=0 (단, k는 실수)로 나타낼 수 있습니다. x, y에 대해 정리하면
(3k+2)x+(k−1)y−4k−1=0
STEP B점 A(2, −2)까지의 거리 f(k) 구하기
거리 공식에 대입하면 분자는 |(3k+2)×2+(k−1)×(−2)−4k−1|이고, 이를 전개하면 6k+4−2k+2−4k−1로 k항이 모두 소거되어 5만 남습니다. 분모는 √{(3k+2)²+(k−1)²}=√(10k²+10k+5)이므로
f(k) = 5√(10k²+10k+5)
STEP Cf(k)의 최댓값 구하기
분자가 상수 5로 고정되어 있으므로 f(k)가 최대가 되려면 분모가 최소가 되어야 합니다. 근호 안을 완전제곱 꼴로 고치면
10k²+10k+5 = 10(k+12)² + 52
이므로 k=−1/2일 때 최솟값 5/2를 가집니다. 따라서 구하는 최댓값은
f(−12) = 5√(5/2) = 5√2√5 = √10
1등급 다른 풀이 · 교점을 직접 잡고 그림으로 끝내기
이 문제는 계산을 한 줄도 하지 않고 답을 낼 수 있습니다. 핵심은 “점 A에서 고정된 점 P를 지나는 직선까지의 거리는 최대 얼마인가?”라는 질문으로 바꿔 읽는 것입니다.
먼저 2x−y−1=0과 3x+y−4=0을 연립하면 x=1, y=1, 즉 교점은 P(1, 1)입니다. 문제의 직선들은 전부 이 점 P를 지납니다. 그런데 A에서 P를 지나는 직선까지의 거리는 항상 선분 AP의 길이 이하이고, 등호는 그 직선이 AP에 수직일 때 성립합니다. 발끝(수선의 발)이 P와 겹치는 순간이 가장 멀리 떨어지는 순간이기 때문입니다.
따라서 구하는 최댓값은 그냥 AP의 길이입니다. AP=√{(2−1)²+(−2−1)²}=√(1+9)=√10. 교재 해설처럼 수직인 직선의 방정식 x−3y+2=0을 실제로 구해 거리 공식에 넣어도 같은 √10이 나오지만, “정점을 지나는 직선까지의 최대 거리 = 정점까지의 거리”라는 사실만 알고 있으면 그 과정조차 필요 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- 직선족 (2x−y−1)+k(3x+y−4)=0은 3x+y−4=0 자기 자신은 표현하지 못합니다. k를 아무리 크게 해도 도달할 수 없는 유일한 예외죠. 이 문항은 최댓값이 k=−1/2에서 나오므로 문제가 없지만, “모든 직선”을 따지는 문제에서는 반드시 이 한 줄을 따로 점검하세요.
- 거리 공식의 분자를 전개했을 때 k가 남아 있다면 계산 실수입니다. A(2, −2)가 어느 한 직선 위에 있는 것은 아니지만, 분자가 상수가 되도록 설계된 문항이므로 5가 나오지 않으면 부호부터 다시 확인하세요.
- 분수의 최댓값과 분모의 최솟값이 대응한다는 점에서 최대·최소가 뒤집힙니다. “최댓값을 구하랬으니 이차식의 최댓값을 구해야지”라고 자동반사하면 그대로 오답입니다.
- 마무리 계산 5÷√(5/2)에서 막히는 학생이 많습니다. √(5/2)=√5/√2이므로 5×√2/√5=√5×√2=√10입니다. 이중근호처럼 보이는 형태는 분모를 먼저 유리화하는 습관을 들이세요.
- 답을 낸 뒤 기하적 검산을 해보세요. 교점 P(1, 1)과 A(2, −2) 사이의 거리가 √10이면 계산이 맞은 것입니다. 서로 다른 두 경로가 같은 값을 주면 확신을 가지고 넘어갈 수 있습니다.