TOUGH
2013년 11월 고1 학력평가 20번
두 직선의 평행
등적변형
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항의 핵심은 ‘넓이가 같다’를 좌표 계산이 아니라 도형의 언어로 번역하는 것입니다. 삼각형 ABC와 삼각형 ADC는 밑변 AC를 공유합니다. 밑변이 같은 두 삼각형의 넓이가 같다면 남은 조건은 하나, 높이가 같다는 것이고, 이는 곧 두 꼭짓점 B와 D가 직선 AC에서 같은 거리에 있다는 뜻입니다.
여기서 한 걸음 더 나아가 B와 D가 직선 AC의 같은 쪽에 있다는 사실까지 확인하면, ‘거리가 같다’는 조건은 BD ∥ AC라는 아주 단순한 평행 조건으로 바뀝니다. 이것이 중학교에서 배운 등적변형(等積變形)의 좌표평면 버전이며, 넓이 공식을 직접 세워 계산하는 것보다 훨씬 짧습니다. 좌표기하 문제를 만나면 계산에 들어가기 전에 기하적으로 다시 읽어보는 습관을 요구하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형 ABC와 ADC를 겹쳐 놓고 보세요. 공통으로 들어 있는 변이 무엇인지 찾으면 AC가 보입니다. 두 삼각형이 이 변을 밑변으로 공유하고 넓이까지 같다면, 나머지 꼭짓점 B와 D가 직선 AC로부터 같은 거리에 있어야 합니다.
그림에서 B와 D는 모두 직선 AC의 왼쪽(같은 쪽)에 있습니다. 직선에서 같은 거리에 있으면서 같은 쪽에 있는 두 점을 이으면, 그 직선은 AC와 어떤 관계가 될까요? 이 관계를 기울기 하나의 등식으로 옮기는 것이 이 문제의 전부입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 A(5, 3), C(3, 0)으로 직선 AC의 기울기를 구하세요. 그다음 점 D는 선분 OC 위, 즉 x축 위의 점이므로 D(a, 0)으로 놓습니다. 이때 D가 선분 OC 위에 있다는 조건에서 a의 범위도 함께 적어두세요.
이제 직선 BD의 기울기를 a로 표현하고, 앞서 구한 AC의 기울기와 같다고 놓으면 a에 대한 일차방정식이 됩니다. a가 나오면 마지막은 A와 D 두 점의 기울기 계산 한 줄입니다. 분모가 분수가 되니 통분에 주의하세요.
정답 확인
정답 ⑤ 직선 AD의 기울기 = 911
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이가 같을 조건을 평행으로 번역
두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 같고 넓이도 같으므로, 두 점 B와 D에서 직선 AC에 이르는 거리가 같습니다. B와 D는 직선 AC의 같은 쪽에 있으므로 이는 곧 직선 BD가 직선 AC와 평행하다는 뜻입니다.
STEP B기울기가 같음을 이용해 점 D 구하기
A(5, 3), C(3, 0)을 지나는 직선 AC의 기울기는 (0−3)÷(3−5) = 32입니다.
점 D는 선분 OC 위의 점이므로 D(a, 0) (0 ≤ a < 3)이라 하면, B(2, 1)과 D를 지나는 직선 BD의 기울기는 (0−1)÷(a−2) = −1a−2입니다.
평행 조건 — 32 = −1a−2 ⟹ 3(a−2) = −2 ⟹ 3a−6 = −2 ⟹ a = 43
43은 0 이상 3 미만이므로 선분 OC 위의 점이 맞습니다.
STEP C직선 AD의 기울기 구하기
A(5, 3)과 D(43, 0)을 지나므로
기울기 = (0−3) ÷ (43−5) = (−3) ÷ (−113) = 911
따라서 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 점과 직선 사이의 거리로 확인하기
평행 조건을 쓰지 않고 ‘거리가 같다’를 그대로 식으로 옮겨도 됩니다. 두 점 A(5, 3), C(3, 0)을 지나는 직선 AC의 방정식은 y = 32x − 92, 즉 3x−2y−9=0입니다.
점 D는 x축 위의 점이므로 D(a, 0)이라 하고, B(2, 1)과 D에서 이 직선까지의 거리가 같다고 놓으면
|3×2−2×1−9| ÷ √13 = |3a−2×0−9| ÷ √13 ⟹ |−5| = |3a−9|
양변을 제곱하면 9a²−54a+81=25, 즉 9a²−54a+56=0이고 (3a−4)(3a−14)=0이므로 a=43 또는 a=143입니다.
여기서 a=143은 직선 AC의 반대쪽에 있는 해입니다. 절댓값을 벗기는 순간 ‘같은 쪽’이라는 정보가 사라지기 때문에 이런 여분의 근이 생깁니다. 점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건으로 이 근을 버리면 a=43만 남습니다. 평행 풀이가 근을 하나만 내놓는 이유가 바로 여기에 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘넓이가 같다’를 보면 먼저 공통 밑변을 찾으세요. 좌표를 대입해 넓이 공식을 두 번 세우는 것보다, 밑변이 같으면 높이가 같고 높이가 같으면 평행이라는 3단 연쇄가 훨씬 빠릅니다.
- 평행으로 번역할 때는 두 점이 직선의 같은 쪽에 있는지 반드시 확인하세요. 반대쪽에 있으면 BD는 AC와 평행이 아니라 AC가 BD를 이등분하는 관계가 됩니다.
- D의 위치를 D(a, 0)으로 잡는 근거는 ‘D가 선분 OC 위’라는 문구입니다. O(0, 0)과 C(3, 0)이 모두 x축 위이므로 y좌표가 0으로 고정되고, 미지수가 하나로 줄어듭니다.
- 거리 방식으로 풀었다면 범위 조건으로 근을 거르는 과정을 반드시 거치세요. a=143은 계산상 옳지만 선분 OC를 벗어나므로 답이 될 수 없습니다.
- 마지막 기울기 계산에서 분모가 43−5 = −113임을 잊지 마세요. −113을 −11로 쓰면 311이 나와 선택지에 없는 값이 됩니다. 분수 나눗셈은 역수를 곱하는 형태로 바꿔 쓰는 편이 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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