TOUGH
최다빈출 · 왕중요
정점을 지나는 직선
두 직선의 수직 조건
사분면과 교점의 범위
출제의도
이 문항은 문자 m을 포함한 직선 l₂ 하나를 세 가지 다른 각도에서 읽어 보게 하는 종합 문제입니다. ㄱ은 정점 통과, ㄴ은 수직 조건, ㄷ은 사분면 안에서 만나기 위한 m의 범위를 묻습니다. 세 명제가 각각 다른 도구를 요구하므로, 어느 하나만 어설프면 답 선택지가 통째로 어긋납니다.
‘최다빈출 왕중요’로 표시된 이유는 ㄷ 때문입니다. 정점을 축으로 직선이 회전한다는 그림을 그릴 수 있는가가 이 문항의 실질적인 관문입니다. 회전하는 직선이 상대 직선의 특정 구간과 만나려면, 구간의 양 끝점을 향하는 두 기울기 사이에 m이 놓여야 합니다. 이 관점을 갖추면 ㄷ은 두 줄로 끝나고, 없으면 부등식을 여러 개 세우고도 경계에서 흔들립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
ㄱ부터 봅니다. l₂: mx−y−m+2=0을 m에 대하여 정리하면 (x−1)m−y+2=0이 됩니다. 이 등식이 모든 m에 대해 성립하려면 x−1=0이고 −y+2=0이어야 하므로, 이 직선은 m이 무엇이든 항상 어떤 한 점을 지납니다. 그 점이 문제에서 말한 (1, 2)인지 확인하세요.
이 사실은 ㄱ의 답으로 끝나지 않습니다. l₂는 정점 (1, 2)를 축으로 기울기 m만 바뀌며 회전하는 직선이라는 그림이 ㄷ까지 그대로 이어집니다. 여기서 멈추지 말고 이 그림을 종이에 그려 두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
ㄴ은 기울기로 판단합니다. l₁: x−y+2=0의 기울기는 1이고, l₂의 기울기는 m입니다. 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 −1이어야 하므로 m의 값이 바로 결정됩니다. 일반형끼리 비교하는 수직 조건(계수 곱의 합이 0)을 써도 같은 결과가 나옵니다.
ㄷ이 핵심입니다. 먼저 l₁이 제2사분면을 지나는 구간을 특정하세요. l₁의 x절편과 y절편을 구하면 그 구간의 양 끝점이 나옵니다. 이제 회전축 (1, 2)에서 그 양 끝점 각각을 향하는 직선의 기울기를 계산하면, 교점이 구간 안에 놓이도록 하는 m의 범위가 두 기울기 사이로 잡힙니다. 끝점은 축 위의 점이라 사분면에 속하지 않으므로 등호는 빠집니다.
정답 확인
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · 직선 l₂가 항상 지나는 점
l₂: mx−y−m+2=0을 m에 대하여 정리하면 (x−1)m−y+2=0 ……㉠ 입니다. 등식 ㉠이 m의 값에 관계없이 항상 성립하므로 m에 대한 항등식이고, 항등식의 성질에 의하여 x−1=0, −y+2=0에서 x=1, y=2입니다.
즉 직선 ㉠은 실수 m의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지납니다. ㄱ은 참입니다.
STEP Bㄴ · m=−1일 때 두 직선의 위치 관계
l₁: x−y+2=0에서 기울기는 1입니다. m=−1을 l₂에 대입하면 −x−y+3=0이므로 l₂의 기울기는 −1입니다.
두 기울기의 곱이 1×(−1)=−1이므로 l₁과 l₂는 수직입니다. ㄴ은 참입니다.
+α · 일반형 수직 조건 — l₁: x−y+2=0, l₂: mx−y−m+2=0이 수직이려면 x계수끼리, y계수끼리의 곱의 합이 0이어야 하므로 1×m+(−1)×(−1)=0, 즉 m+1=0에서 m=−1입니다.
STEP Cㄷ · 제2사분면에서 만나기 위한 m의 범위
l₁: x−y+2=0의 x절편은 −2, y절편은 2이므로 l₁이 제2사분면을 지나는 구간은 (−2, 0)과 (0, 2) 사이입니다. 두 끝점은 좌표축 위의 점이므로 제2사분면에는 포함되지 않습니다.
한편 l₂는 STEP A에서 확인한 대로 정점 (1, 2)를 지나며 기울기 m으로 회전합니다. 따라서 교점이 위 구간 안에 놓이려면, m이 (1, 2)에서 두 끝점을 향하는 기울기 사이에 있어야 합니다.
( i ) 점 (−2, 0)을 지날 때 — l₂에 대입하면 −2m−0−m+2=0, 즉 −3m+2=0에서 m=23
( ii ) 점 (0, 2)를 지날 때 — l₂에 대입하면 0−2−m+2=0, 즉 −m=0에서 m=0
( i ), ( ii )에서 구하는 m의 값의 범위는 0<m<23이므로 ㄷ도 참입니다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점을 직접 구해 부호로 판정하기
ㄷ을 그림 없이 처리하고 싶다면 교점의 좌표를 m으로 나타낸 뒤 부호 조건을 쓰면 됩니다.
x−y+2=0과 mx−y−m+2=0을 변끼리 빼면 (m−1)x−m=0이므로 x=mm−1이고, y=x+2이므로 y=3m−2m−1입니다. (m=1이면 두 직선이 평행하여 교점이 없습니다.)
교점이 제2사분면에 있으려면 x<0이고 y>0이어야 합니다.
x<0 — 분자 m과 분모 m−1의 부호가 반대여야 하므로 0<m<1
y>0 — 위 범위에서 m−1<0이므로 분자도 음수여야 합니다. 3m−2<0에서 m<23
두 조건의 공통 범위는 0<m<23으로 앞의 결과와 정확히 일치합니다. 계산은 조금 길지만 그림 없이 기계적으로 답이 나오므로, 회전 관점이 잘 안 보일 때의 안전한 대안입니다.
실수를 줄이는 전략
- ㄱ 유형은 점 (1, 2)를 그냥 대입해도 확인은 됩니다. 하지만 정점을 직접 구해 두는 편이 압도적으로 유리합니다. 그 정점이 ㄷ의 회전축이 되어 문제 전체를 관통하기 때문입니다.
- 사분면 조건에서는 등호가 들어가지 않습니다. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않으므로 0≤m≤23으로 쓰면 틀립니다. 경계값이 대응하는 점이 축 위인지 아닌지를 매번 확인하세요.
- 회전 관점에서 부등호 방향을 뒤집는 실수가 잦습니다. 반드시 양 끝 기울기 두 개를 먼저 계산한 뒤 작은 값과 큰 값 사이로 쓰고, 중간값(예: m=13)을 하나 대입해 실제로 제2사분면에서 만나는지 검산하세요.
- m=1일 때 l₂의 기울기가 1이 되어 l₁과 평행해집니다. 이 문항의 답 범위에는 포함되지 않지만, 교점의 존재를 전제로 하는 문제에서는 평행이 되는 m을 먼저 배제하는 습관이 안전합니다.
- 정점을 지나는 직선다발 mx−y−m+2=0은 기울기가 없는 세로선 x=1을 표현하지 못합니다. 이 문제에서는 영향이 없지만, ‘모든 직선’을 다뤄야 하는 문항에서는 이 예외를 따로 검토해야 합니다.
- ㄴ의 수직 조건에서 기울기를 쓸 때는 두 직선 모두 기울기가 존재해야 합니다. 세로선이 섞일 수 있는 상황이라면 일반형 조건 a₁a₂+b₁b₂=0을 쓰는 쪽이 안전합니다.