TOUGH
정점을 지나는 직선
항등식
직사각형의 넓이 이등분
출제의도
이 문항은 두 개의 서로 다른 도구를 한 문제 안에 겹쳐 놓았습니다. 앞쪽은 ‘실수 m의 값에 관계없이 항상’이라는 표현을 m에 대한 항등식으로 읽어 직선이 반드시 지나는 정점을 찾는 부분이고, 뒤쪽은 ‘직사각형의 넓이를 이등분한다’를 두 대각선의 교점을 지난다로 번역하는 부분입니다.
TOUGH로 분류된 이유는 두 번역이 모두 성공해야 비로소 계산이 시작되기 때문입니다. 어느 한쪽만 떠올리면 문제가 그대로 멈춥니다. 반대로 두 문장을 모두 확보하면 남는 일은 중점 공식을 한 번 쓰는 것뿐이라, 체감 난이도가 극단적으로 갈리는 유형입니다. 꼭짓점 B와 D의 좌표를 끝까지 주지 않는 것도 의도적인 장치입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
‘실수 m의 값에 관계없이 항상’이라는 문구는 m을 변수로 보라는 신호입니다. 주어진 식 mx−y−4m−6=0을 m에 대하여 정리해 보세요. m이 붙은 항끼리, 붙지 않은 항끼리 묶으면 (□)m−(△)=0 꼴이 됩니다.
이 등식이 모든 m에 대해 성립하려면 □와 △가 각각 어떻게 되어야 할까요? 여기서 x, y의 값이 하나로 확정됩니다. 즉 이 직선은 m이 무엇이든 어떤 고정된 한 점을 반드시 지납니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이제 두 번째 조건입니다. 직사각형의 넓이를 이등분하는 직선을 그려 보세요. 그런 직선은 하나가 아니라 무수히 많은데, 그 직선들에는 공통점이 하나 있습니다. 모두 직사각형의 중심(두 대각선의 교점)을 지납니다. 대각선이 서로를 이등분하기 때문에, 중심을 지나는 직선은 직사각형을 점대칭인 두 조각으로 나눕니다.
그러므로 1단계에서 찾은 정점이 곧 직사각형의 중심입니다. A와 C는 마주 보는 꼭짓점이므로 선분 AC의 중점이 바로 그 중심입니다. 중점 공식을 세워 x좌표끼리, y좌표끼리 따로 등식을 만들면 a와 b가 각각 결정됩니다. B, D의 좌표는 끝까지 필요 없습니다.
정답 확인
정답 ② a+b = 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직선이 항상 지나는 점 구하기
주어진 직선 mx−y−4m−6=0을 m에 대하여 정리하면 (x−4)m−(y+6)=0 ……㉠ 입니다.
등식 ㉠이 실수 m의 값에 관계없이 항상 성립하므로 이는 m에 대한 항등식입니다. 항등식의 성질에 의하여 x−4=0, y+6=0이므로 x=4, y=−6입니다. 즉 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (4, −6)을 지납니다.
STEP B정점이 직사각형의 중심임을 이용해 a, b 구하기
직선 ㉠이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하려면 점 (4, −6)이 두 대각선의 교점이어야 합니다. 직사각형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로, 대각선 AC의 중점이 곧 그 교점입니다.
두 점 A(−2, −5), C(a, b)에 대하여 선분 AC의 중점의 좌표는 −2+a2, −5+b2 이고, 이것이 (4, −6)과 일치해야 합니다.
x좌표 — −2+a2=4에서 −2+a=8이므로 a=10
y좌표 — −5+b2=−6에서 −5+b=−12이므로 b=−7
STEP Ca+b의 값 계산
따라서 a+b=10+(−7)=3입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점을 대입해 항등식을 한 번 더 쓰기
정점을 먼저 구하지 않고, 순서를 뒤집어도 같은 답에 도달합니다. 넓이를 이등분한다는 조건에서 이 직선이 대각선 AC의 중점을 지난다는 것부터 확정하는 방식입니다.
두 점 A(−2, −5), C(a, b)에 대하여 AC의 중점은 −2+a2, −5+b2 이고, 직선 mx−y−4m−6=0이 이 점을 지나므로
m·−2+a2 − −5+b2 − 4m − 6 = 0
양변에 2를 곱하고 m에 대하여 정리하면 (a−10)m−(b+7)=0이 됩니다. 이 식이 m의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질에 의하여 a−10=0, b+7=0, 즉 a=10, b=−7입니다.
정점을 먼저 구하는 풀이는 그림으로 확인하기 쉽고, 이 풀이는 항등식이라는 도구 하나만으로 끝난다는 장점이 있습니다. 문제에서 정점 자체를 묻는 경우가 많으므로 두 방향 모두 손에 익혀 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘~의 값에 관계없이 항상’은 그 문자에 대한 항등식이라는 신호입니다. 반드시 그 문자로 묶어 (□)m−(△)=0 꼴을 만든 뒤 □=0, △=0을 쓰세요. 특정한 m 값 두 개를 대입해 연립하는 방법도 가능하지만, 묶는 쪽이 훨씬 빠르고 실수가 적습니다.
- 넓이를 이등분하는 직선은 하나가 아니라 무수히 많습니다. 이 문제가 묻는 것은 그 직선이 반드시 지나야 하는 점, 즉 중심입니다. 직사각형뿐 아니라 평행사변형·마름모·정사각형 등 점대칭 도형이면 모두 같은 성질이 성립합니다.
- ABCD라는 이름에서 A와 C가 마주 보는 꼭짓점임을 놓치면 안 됩니다. AC를 변으로 착각하면 중점 조건 자체가 무너집니다. B, D의 좌표를 주지 않은 것이 오히려 힌트입니다.
- y좌표 계산에서 −5+b=−12를 −5+b=−6으로 잘못 옮겨 b=−1이 나오면 a+b=9, 즉 오답 ⑤로 흘러갑니다. 중점 공식은 분모의 2를 먼저 넘긴 뒤 이항하는 순서를 지키세요.
- 구하는 것이 a+b임을 마지막에 한 번 더 확인하세요. ab=−70처럼 엉뚱한 값을 계산하면 대응하는 선택지가 없어 시간만 잃습니다.