TOUGH
최다빈출 왕중요
정점을 지나는 직선
k에 대한 항등식
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 서로 다른 두 단원의 핵심 기술을 한 줄로 이어 붙인 복합형입니다. 앞부분은 ‘실수 k의 값에 관계없이’라는 문구를 보고 k에 대한 항등식으로 정리하는 기술, 뒷부분은 점과 직선 사이의 거리 공식을 세워 절댓값 방정식을 푸는 기술입니다. 두 기술 자체는 각각 교과서 수준이지만, 하나라도 연결이 끊기면 답까지 도달하지 못합니다.
최다빈출·왕중요 태그가 붙은 이유는 ‘정점을 지나는 직선’이 내신과 학평에서 반복 출제되는 대표 소재이기 때문입니다. 특히 마지막에 묻는 것이 m의 값이 아니라 모든 m의 값의 합이라는 점이 함정입니다. 절댓값 방정식에서 근이 두 개 나오는데, 하나만 구하고 선택지를 고르면 그대로 오답이 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
‘실수 k의 값에 관계없이 항상 지나는 점’이라는 문구는 곧 k에 대한 항등식으로 정리하라는 신호입니다. 주어진 식을 k가 붙은 항과 붙지 않은 항으로 분리해 ( )k + ( ) = 0 꼴로 만들어 보세요.
이렇게 정리하면 괄호 안의 두 식이 동시에 0이어야 한다는 조건이 나옵니다. 두 식을 연립하면 점 A의 좌표가 확정되고, 여기서부터는 완전히 다른 문제, 즉 ‘점과 직선 사이의 거리’ 문제로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
k에 대해 정리하면 (x−y+1)k + (x+3y−15) = 0이 됩니다. 두 괄호를 각각 0으로 놓고 연립해서 점 A를 먼저 구하세요.
점 A가 나오면 직선 2x−y+m=0과의 거리 공식을 세웁니다. 분모는 √(2²+(−1)²)=√5로 고정이고, 분자에 절댓값이 남습니다. 거리가 √5라는 조건에서 분모의 √5가 소거되면서 |m+2|=5 꼴의 깔끔한 절댓값 방정식이 남습니다. 여기서 ±를 모두 살려 두 개의 m을 구한 뒤 합을 답하는 것이 마지막 관문입니다.
정답 확인
정답 ① 모든 m의 값의 합 = −4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ak에 대한 항등식으로 정점 A 구하기
(k+1)x−(k−3)y+k−15=0을 k에 대하여 정리하면 (x−y+1)k + (x+3y−15) = 0입니다. 이 등식이 모든 실수 k에 대해 성립하므로 k에 대한 항등식이고, 항등식의 성질에 의하여 x−y+1=0, x+3y−15=0이 동시에 성립해야 합니다.
두 식을 연립하면 x=3, y=4이므로 이 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 A(3, 4)를 지납니다.
STEP B점과 직선 사이의 거리로 m 구하기
점 A(3, 4)와 직선 2x−y+m=0 사이의 거리가 √5이므로
|2×3 − 1×4 + m|√(2²+(−1)²) = |m+2|√5 = √5
양변에 √5를 곱하면 |m+2| = 5, 즉 m+2 = ±5이므로 m = 3 또는 m = −7입니다.
STEP C모든 m의 값의 합
구하는 값은 개별 m이 아니라 모든 m의 합이므로 3 + (−7) = −4입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 개의 k를 대입해 교점으로 읽기
정점을 구할 때 항등식으로 정리하는 대신, k에 편한 값 두 개를 대입해 얻은 두 직선의 교점을 찾아도 됩니다. 어차피 모든 k에 대해 그 점을 지나므로, 특정한 두 k에서 얻은 직선도 반드시 그 점을 지나기 때문입니다.
k=3을 넣으면 4x + 0·y − 12 = 0, 즉 x=3이 됩니다. k=−1을 넣으면 0·x + 4y − 16 = 0, 즉 y=4가 됩니다. 두 직선의 교점이 곧 A(3, 4)입니다. y의 계수 −(k−3)과 x의 계수 (k+1)을 각각 0으로 만드는 k를 고르면 이렇게 수직·수평 직선 두 개가 나와 교점이 눈으로 읽힙니다.
또한 마지막 단계에서 두 근을 각각 구하지 않고 합만 필요하다면, |m+2|=5의 양변을 제곱해 (m+2)²=25, 즉 m²+4m−21=0으로 바꾼 뒤 근과 계수의 관계로 두 근의 합이 −4임을 바로 읽을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- k에 대해 정리할 때 부호를 놓치기 쉽습니다. −(k−3)y는 −ky+3y이므로 k가 붙은 항은 −y, 붙지 않은 항은 +3y입니다. 이 분리를 잘못하면 정점 자체가 틀립니다.
- 항등식 조건은 두 괄호가 동시에 0이라는 뜻입니다. 하나만 0으로 놓고 끝내면 점이 아니라 직선이 나옵니다.
- 거리 공식의 분모는 직선의 계수로 만드는 값입니다. 점의 좌표로 √(3²+4²)=5를 쓰는 실수가 매년 나옵니다. 여기서는 √(2²+(−1)²)=√5입니다.
- 절댓값 방정식은 반드시 ± 두 경우를 모두 씁니다. m=3만 구하고 선택지 ④ 3을 고르는 것이 이 문항의 대표 오답 경로입니다.
- 마지막에 문제가 묻는 대상을 다시 읽으세요. ‘모든 실수 m의 값의 합‘이므로 −7+3=−4이고, 곱(−21)이나 개수(2)를 답하면 안 됩니다.