TOUGH
두 직선의 교점
삼각형의 넓이 이등분
중선
출제의도
이 문항은 두 직선의 x절편으로 삼각형의 두 꼭짓점 A, B를 잡고, 나머지 한 꼭짓점 C를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선을 구하는 문제입니다. 절편을 읽고 두 직선을 연립하는 계산은 서너 줄이면 끝나므로, 실제 난이도는 계산이 아니라 조건을 번역하는 첫 문장에 몰려 있습니다.
TOUGH로 분류된 이유는 ‘꼭짓점을 지나면서 넓이를 이등분하는 직선은 대변의 중점을 지난다’는 성질을 스스로 떠올려야 하기 때문입니다. 이 한 줄이 나오지 않으면 넓이를 문자로 놓고 적분하듯 헤매게 되고, 이 한 줄이 나오면 남은 일은 중점 하나 찍고 두 점을 잇는 것뿐입니다. 여기에 답의 형태가 ax−y+b=0으로 고정되어 있어, 마지막에 계수를 맞추는 단계에서 한 번 더 걸러집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A, B는 두 직선이 x축과 만나는 점이므로 각 식에 y=0을 대입하면 바로 나옵니다. 여기까지는 어렵지 않습니다.
핵심은 그다음입니다. 삼각형 ABC에서 밑변을 AB로 잡으면, 꼭짓점 C에서 내린 높이는 어떤 직선을 그어도 그대로입니다. 넓이는 (밑변)×(높이)÷2이므로, 높이가 공통이라면 넓이의 비는 곧 밑변의 비가 됩니다. 그렇다면 C를 지나는 직선이 넓이를 정확히 반으로 가르려면 밑변 AB를 어떤 점에서 잘라야 할까요?
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
구하는 직선은 C와 선분 AB의 중점을 지나는 직선, 즉 삼각형의 중선입니다. 그러니 필요한 것은 딱 두 점입니다. 하나는 AB의 중점이고, 다른 하나는 두 직선을 연립해서 얻는 교점 C입니다.
두 점을 모두 구했다면 기울기를 계산해 직선의 방정식을 세우세요. 마지막에 반드시 확인할 것이 하나 있습니다. 문제가 준 형태는 ax−y+b=0으로 y의 계수가 −1입니다. 정리한 식의 y 계수가 −1이 아니라면 양변을 나눠서 형태를 맞춘 뒤에 a와 b를 읽어야 합니다. 이 마지막 한 줄에서 오답이 가장 많이 나옵니다.
정답 확인
정답 ⑤ ab = −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점 A, B와 선분 AB의 중점 구하기
직선 x−3y+4=0에 y=0을 대입하면 x=−4이므로 A(−4, 0)입니다. 직선 x+y−8=0에 y=0을 대입하면 x=8이므로 B(8, 0)입니다.
따라서 선분 AB의 중점은 −4+82=2에서 (2, 0)입니다.
STEP B꼭짓점 C의 좌표 구하기
두 직선의 교점이 C이므로 x−3y+4=0과 x+y−8=0을 연립합니다. 두 번째 식에서 y=8−x를 얻어 첫 식에 대입하면 x−3(8−x)+4=0, 즉 4x−20=0에서 x=5, y=3입니다. 따라서 C(5, 3)입니다.
STEP C넓이를 이등분하는 직선과 ab의 값
점 C를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선은 밑변 AB의 중점 (2, 0)을 지나야 합니다. 두 점 (5, 3), (2, 0)을 지나는 직선의 기울기는 0−32−5=1이므로 직선의 방정식은 y−0=1·(x−2), 즉 x−y−2=0입니다.
이를 ax−y+b=0과 비교하면 a=1, b=−2이므로 ab=1×(−2)=−2입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점을 지나는 직선다발로 처리하기
C의 좌표를 구하지 않고도 답이 나옵니다. 두 직선 x−3y+4=0, x+y−8=0의 교점을 지나는 직선은 실수 k에 대하여
x−3y+4+k(x+y−8)=0 …… ㉠
으로 한꺼번에 표현됩니다. 이 직선다발은 언제나 교점 C를 지나므로, 남은 조건은 ‘중점 (2, 0)도 지난다’ 하나뿐입니다.
㉠에 (2, 0)을 대입하면 2−0+4+k(2+0−8)=0, 즉 6−6k=0에서 k=1입니다. 이를 ㉠에 넣으면 (x−3y+4)+(x+y−8)=0, 즉 2x−2y−4=0이 되고 양변을 2로 나누어 x−y−2=0을 얻습니다.
연립방정식을 푸는 과정이 통째로 사라지는 대신, 마지막에 y의 계수를 −1로 맞추는 정리가 반드시 필요하다는 점이 이 풀이의 함정입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘꼭짓점을 지나며 넓이를 이등분’ = 중선입니다. 높이가 공통이므로 넓이비가 밑변비와 같아진다는 근거까지 함께 기억해 두면, 밑변을 다른 변으로 잡는 변형 문제에서도 흔들리지 않습니다.
- x절편은 y=0을 대입해 구합니다. x−3y+4=0에서 4를 그대로 옮겨 x=4로 읽으면 A의 부호가 뒤집혀 중점이 (6, 0)이 되고 답이 완전히 달라집니다.
- 직선다발 풀이에서 2x−2y−4=0을 그대로 읽어 a=2, b=−4로 두면 ab=−8, 즉 오답 ②로 흘러갑니다. ax−y+b=0은 y의 계수가 −1이라는 점을 마지막에 반드시 확인하세요.
- 묻는 것이 ab인지 a+b인지 확인하세요. 이 문항의 선택지는 −10부터 −2까지 촘촘해서, a+b=−1을 계산해 버리면 답할 선택지 자체가 없어 시간을 크게 잃습니다.
- 직선다발 ㉠은 k를 아무리 바꿔도 두 번째 직선 x+y−8=0 자신은 표현하지 못합니다. 이 문항에서는 문제가 되지 않지만, 다발 표현을 쓸 때는 항상 이 예외를 함께 점검하는 습관을 들이세요.