TOUGH
2014년 09월 고1 학력평가 20번
두 직선의 위치관계
항등식과 정점
참·거짓 판별
출제의도
이 문항은 문자 계수 a를 품은 두 직선에 대해 수직·정점·평행이라는 세 가지 성질을 각각 판정하는 [보기] 문제입니다. 계산량은 많지 않지만, 세 보기가 서로 다른 도구를 요구합니다. ㄱ은 특수값 대입, ㄴ은 항등식의 성질, ㄷ은 경우 분류입니다. 어느 하나라도 도구를 잘못 고르면 그 보기에서 막힙니다.
TOUGH로 배치된 결정적 이유는 ㄷ에 있습니다. 기울기를 쓰려면 y에 대해 정리해야 하는데, a=0이면 m의 방정식에서 y항이 사라져 기울기를 정의할 수 없습니다. 그러니 a=0과 a≠0을 반드시 나눠야 합니다. 이 분기를 빠뜨리고 기울기 조건만 쓰면 논리가 비는 답안이 되고, 내신 서술형에서는 감점 요인이 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
ㄱ은 a=0이라는 값이 주어져 있으니 그냥 대입하세요. 두 식이 각각 어떤 모양으로 바뀌는지 보면 됩니다. 이때 나오는 직선들은 기울기를 따질 필요가 없는 특별한 형태입니다.
ㄴ의 핵심어는 ‘a의 값에 관계없이 항상‘입니다. 이 표현은 곧 a에 대한 항등식이라는 뜻입니다. 직선 l의 방정식을 a에 대해 내림차순으로 묶어 (□)a+(△)=0 꼴로 정리한 뒤, 항등식이 되려면 □과 △이 각각 어떤 값이어야 하는지 생각해 보세요.
ㄷ은 두 직선이 평행할 조건입니다. 기울기로 접근한다면, 그 전에 기울기를 쓸 수 없는 a가 있는지부터 확인해야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
ㄱ: a=0을 넣으면 l은 y만 남고 m은 x만 남습니다. 하나는 x축에 평행, 다른 하나는 y축에 평행이 되죠. 이 둘의 관계를 판정하세요.
ㄴ: ax−y+a+2=0을 a로 묶으면 a(x+1)−y+2=0입니다. 항등식 조건에서 x+1=0, −y+2=0이 나옵니다. 여기서 얻은 정점의 좌표를 보기의 점 (1, 2)와 부호까지 비교하세요. 확신이 서지 않으면 x=1, y=2를 원식에 직접 대입해 a가 특정 값일 때만 성립하는지 확인하는 방법도 있습니다.
ㄷ: (i) a=0일 때는 ㄱ에서 이미 수직임을 확인했으니 평행이 아닙니다. (ii) a≠0일 때 l의 기울기는 a, m의 기울기는 −4a입니다. 두 기울기를 같다고 놓으면 a에 대한 식이 나오는데, 그 식을 만족하는 실수 a가 있는지 판단하는 것이 마지막 관문입니다.
정답 확인
정답 ③ ㄱ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · a=0일 때 두 직선은 수직인가
a=0을 대입하면 l : −y+2=0에서 y=2이므로 x축에 평행한 가로 직선입니다. m : 4x+8=0에서 x=−2이므로 y축에 평행한 세로 직선입니다.
가로 직선과 세로 직선은 서로 수직이므로 ㄱ은 참입니다. 이 경우는 기울기의 곱이 −1이라는 조건을 쓸 수 없고(세로 직선의 기울기가 정의되지 않음), 그림으로 판정해야 한다는 점이 포인트입니다.
STEP Bㄴ · 직선 l이 항상 지나는 점
l : ax−y+a+2=0을 a에 대해 정리하면 a(x+1)−y+2=0입니다. 이 등식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하려면 a에 대한 항등식이어야 하므로 x+1=0이고 −y+2=0입니다.
따라서 x=−1, y=2, 즉 l은 a에 관계없이 항상 점 (−1, 2)를 지납니다. 보기가 말한 (1, 2)가 아니므로 ㄴ은 거짓입니다.
직접 대입으로 확인하기 — l에 x=1, y=2를 넣으면 a−2+a+2=0에서 2a=0, 즉 a=0입니다. 즉 l이 (1, 2)를 지나는 것은 a=0일 때뿐이고 ‘항상’이 아닙니다.
STEP Cㄷ · 평행이 되는 실수 a가 존재하는가
( i ) a=0일 때 — ㄱ에서 본 대로 두 직선은 수직입니다. 따라서 평행이 아닙니다.
( ii ) a≠0일 때 — l : y=ax+a+2이므로 기울기는 a입니다. m : y=−4ax−3−8a이므로 기울기는 −4a입니다. 평행하려면 a=−4a, 즉 a²=−4여야 합니다. 그런데 실수의 제곱은 0 이상이므로 a²+4>0이 되어 이를 만족하는 실수 a는 없습니다.
( i ), ( ii )에서 두 직선 l과 m이 평행이 되는 실수 a는 존재하지 않으므로 ㄷ은 참입니다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 계수비로 한 번에 처리하기
ㄷ은 기울기 대신 계수비 조건을 쓰면 경우 분류 없이 한 줄로 정리됩니다.
두 직선 a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0이 평행할 조건은 a₁a₂=b₁b₂≠c₁c₂입니다. l : ax−y+(a+2)=0, m : 4x+ay+(3a+8)=0에 적용하면 a4=−1a≠a+23a+8입니다.
앞의 등식만 정리해도 a²=−4가 나오고, a가 실수인 이상 이를 만족하는 값은 없습니다. 뒤쪽의 ‘≠’ 부분(일치가 아닐 조건)은 확인할 필요조차 없이 결론이 납니다. 다만 이 조건식은 분모가 0이 되는 경우를 다루지 않으므로, 서술형 답안에서는 a=0을 따로 언급해 두는 편이 안전합니다.
ㄴ도 같은 방식으로 일반화할 수 있습니다. 문자 계수 직선이 ‘항상 지나는 점’을 묻는 문제는 예외 없이 그 문자로 묶어 (□)·문자+(△)=0 꼴을 만든 뒤 □=0, △=0을 연립하는 것이 정석입니다.
실수를 줄이는 전략
- ㄷ에서 a=0을 빠뜨리지 마세요. a=0이면 m의 y항이 사라져 기울기 자체가 정의되지 않습니다. 기울기로 비교하는 순간 그 논의는 a≠0을 전제한 것이므로, a=0을 별도의 경우로 반드시 처리해야 합니다.
- ㄴ의 정점은 (−1, 2)입니다. a(x+1)에서 x+1=0을 풀면 x=−1인데, 괄호 안의 +1을 그대로 읽어 x=1로 착각하는 실수가 가장 흔합니다. 부호를 옮기는 한 단계를 눈으로 확인하세요.
- ㄱ처럼 가로·세로 직선이 나오는 경우 ‘기울기의 곱=−1’은 쓸 수 없습니다. y=k와 x=k 형태가 보이면 조건식 대신 그림으로 판정하는 것이 옳습니다.
- ‘평행’과 ‘일치’는 다릅니다. 계수비 조건에서 앞의 등식만 보고 답하면 일치하는 경우까지 평행으로 세게 됩니다. 이 문항은 애초에 등식을 만족하는 a가 없어 문제되지 않지만, 유형 자체로는 항상 마지막 ‘≠’를 확인하는 습관이 필요합니다.
- [보기] 문제는 세 개 중 하나만 틀려도 오답입니다. ㄱ만 보고 ①, 또는 ㄴ을 참으로 착각해 ⑤로 흐르기 쉽습니다. 세 보기를 각각 참/거짓으로 확정한 뒤 선지를 고르세요.