행복한 일등급문제
드모르간 법칙
차집합과 여집합
원소의 합의 최솟값
출제의도
이 문항은 2022년 11월 고1 학력평가 28번으로 출제된 문제입니다. 겉보기에는 ‘원소의 합’을 묻는 계산 문제 같지만, 실제로 묻는 것은 집합의 연산을 여집합 관계로 바꿔 읽는 힘입니다. A∪Bc라는 낯선 덩어리를 드모르간 법칙으로 (B−A)c로 정리하는 순간, 서로 여집합인 두 집합의 원소의 합이 전체집합의 합 63으로 묶이면서 문제가 한 줄로 풀립니다.
일등급 문항으로 배치된 이유는 두 개의 서로 다른 관점을 한 문제 안에서 요구하기 때문입니다. 앞쪽 절반은 ‘합’의 관점에서 B−A를 확정하는 것이고, 뒤쪽 절반은 ‘개수’의 관점에서 n(A)를 확정한 뒤 다시 ‘합’으로 돌아와 최솟값을 고르는 것입니다. 합과 개수를 오가는 이 전환을 매끄럽게 해내는지가 등급을 가릅니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 (가)에 등장하는 두 집합 A∪Bc와 B−A의 관계부터 살피세요. B−A = Ac∩B이므로, 그 여집합을 드모르간 법칙으로 풀면 A∪Bc가 됩니다. 즉 두 집합은 서로 여집합 관계입니다.
서로 여집합이라는 말은 두 집합이 전체집합 U를 겹치지 않게 둘로 나눈다는 뜻입니다. 그러면 두 집합의 원소의 합을 더한 값이 무엇이 되어야 하는지가 바로 보입니다. U={1, 2, 4, 8, 16, 32}의 원소의 합을 먼저 구해 두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
B−A의 원소의 합을 k로 두면 A∪Bc의 합은 6k이고, 두 집합이 U를 나누므로 k+6k=63입니다. k가 정해지면 U의 원소가 모두 2의 거듭제곱이라는 점 덕분에 합이 k인 부분집합은 단 하나로 결정됩니다. 조건 2≤n(B−A)≤4도 함께 확인하세요.
다음은 개수의 관점입니다. A와 B−A는 서로소이고 A∪B = A∪(B−A)이므로 n(A∪B)=n(A)+n(B−A)가 성립합니다. 여기서 n(A)를 구한 뒤, A가 들어갈 수 있는 원소들만 모아 놓고 그중 작은 것부터 고르면 합의 최솟값이 나옵니다.
정답 확인
정답 22 (A={2, 4, 16}일 때)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 집합 B−A 확정하기
A∪Bc = (Ac∩B)c = (B−A)c이므로 두 집합은 서로 여집합입니다. B−A의 원소의 합을 k라 하면 A∪Bc의 합은 6k이고, 둘을 합치면 U 전체이므로 k+6k=1+2+4+8+16+32=63, 즉 k=9입니다. U의 원소는 모두 2의 거듭제곱이라 합이 9가 되는 조합은 1+8뿐이므로 B−A={1, 8}이고, n(B−A)=2는 단서 2≤n(B−A)≤4를 만족합니다.
STEP B조건 (나)로 n(A)를 구하고 합을 최소화하기
A∩(B−A)=∅이므로 A⊂(B−A)c={2, 4, 16, 32}입니다. 또 A∪B = A∪(B−A)이고 두 집합이 서로소이므로 n(A∪B)=n(A)+n(B−A)=5에서 n(A)=3입니다. 따라서 A는 {2, 4, 16, 32}에서 세 원소를 고르는 집합이고, 합이 최소가 되려면 A={2, 4, 16}이어야 하므로 최솟값은 2+4+16=22입니다.
1등급 다른 풀이 · 하나만 버린다고 생각하기
STEP B에서 A는 {2, 4, 16, 32}의 네 원소 중 세 개를 고르는 집합입니다. 뒤집어 말하면 네 원소 중 정확히 하나만 버리는 것이므로, A의 원소의 합은 항상 (2+4+16+32)−(버린 원소)=54−(버린 원소)입니다.
합을 최소로 만들려면 가장 큰 원소를 버리면 되므로 54−32=22가 즉시 나옵니다. 세 원소를 고르는 경우를 나열해 더할 필요가 없습니다. 덧붙여 54는 조건 (가)의 6k=6×9와 정확히 일치하므로, 이 값이 나오는 순간 STEP A의 k=9가 맞았는지도 함께 검산됩니다. 원소 개수가 많은 유사 문항에서 특히 강력한 관점입니다.
실수를 줄이는 전략
- A∪Bc를 벤 다이어그램에 색칠부터 하려 하지 말고, 드모르간 법칙으로 (B−A)c임을 먼저 확인하세요. 여집합 관계를 놓치면 63이라는 열쇠를 쓸 수 없습니다.
- ‘6배’는 k+6k=7k=63을 뜻합니다. 6k=63으로 놓는 실수가 가장 흔합니다. 두 집합이 U를 남김없이 나눈다는 점을 매번 확인하세요.
- 합이 9인 부분집합을 찾을 때 4+2+1처럼 다른 조합을 만들려다 시간을 버립니다. 원소가 모두 2의 거듭제곱이면 합에 대한 표현은 이진법처럼 유일합니다.
- n(A∪B)=n(A)+n(B)로 잘못 쓰면 안 됩니다. A와 B는 겹치지만 A와 B−A는 서로소이므로 n(A∪B)=n(A)+n(B−A)를 써야 합니다.
- 합을 줄이려고 A에 1을 넣고 싶어지지만, 1은 B−A의 원소라 A에 들어갈 수 없습니다. A의 후보는 {2, 4, 16, 32}로 제한된다는 사실을 먼저 못박아 두세요.
- 구하는 값은 집합 A가 아니라 A의 원소의 합입니다. A={2, 4, 16}까지 구해 놓고 답을 적지 않는 실수를 조심하세요.
엄선된 풀이 영상
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