TOUGH
원소의 개수의 최대·최소
대칭차집합
출제의도
이 문항은 n(U), n(A), n(B)만 주고 교집합의 크기를 열어 둔 채, ‘A와 B 중 어느 한 지역만 방문한 학생 수’라는 대칭차집합의 크기가 어디까지 커지고 어디까지 작아지는지를 묻습니다. 값이 하나로 정해지지 않는 상황에서 변할 수 있는 폭을 스스로 잡아내는 것이 목표입니다.
TOUGH 스텝에 놓인 이유는 최댓값과 최솟값을 만드는 ‘극단 배치’를 두 번 상상해야 하기 때문입니다. 하나는 A∪B가 전체집합을 꽉 채우는 상황, 다른 하나는 한쪽 집합이 다른 쪽에 통째로 들어가는 상황입니다. 이 두 그림을 떠올리지 못하면 식만 붙들고 시간을 쓰게 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
‘어느 한 지역만 방문한 학생’의 집합은 (A−B)∪(B−A)이고, 그 원소의 개수는 n(A∪B)−n(A∩B)입니다. 구해야 할 대상을 이렇게 한 덩어리 식으로 먼저 고정하세요.
이 식은 n(A∪B)가 클수록, n(A∩B)가 작을수록 커집니다. 그런데 두 값은 독립적이지 않고 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)로 묶여 있으므로, 결국 조절 가능한 변수는 n(A∩B) 하나뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
최댓값은 A∪B가 전체집합과 같아질 때, 즉 어느 지역도 방문하지 않은 학생이 없을 때 나옵니다. n(A∪B)=30을 공식에 넣어 n(A∩B)를 역산하세요.
최솟값은 반대로 교집합이 최대일 때, 즉 원소가 적은 쪽 집합이 큰 쪽에 완전히 포함될 때 나옵니다. 두 경우의 값을 각각 M과 m으로 두고 마지막에 곱하는 것을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 Mm = 56 (M=28, m=2)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A구하는 값을 집합의 식으로 고정하기
학생 전체의 집합을 U, 지역 A와 지역 B를 방문한 학생의 집합을 각각 A, B라 하면 n(U)=30, n(A)=17, n(B)=15입니다. 어느 한 지역만 방문한 학생 수는 n(A∪B)−n(A∩B)입니다.
STEP B최댓값 M 구하기
이 값이 최대이려면 n(A∪B)가 최대, n(A∩B)가 최소여야 하므로 A∪B=U인 경우입니다. n(A∪B)=30을 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)에 넣으면 30=17+15−n(A∩B)에서 n(A∩B)=2이고, M=30−2=28입니다.
STEP C최솟값 m 구하기와 마무리
반대로 이 값이 최소이려면 n(A∪B)가 최소, n(A∩B)가 최대여야 하므로 B⊂A인 경우입니다. 이때 n(A∩B)=n(B)=15, n(A∪B)=n(A)=17이므로 m=17−15=2입니다. 따라서 Mm=28×2=56입니다.
1등급 다른 풀이 · 교집합을 x로 두고 범위를 조이기
극단 배치를 따로 상상하지 않고, 벤 다이어그램의 네 영역을 모두 x로 표현해 한 번에 처리하는 방법이 있습니다. n(A∩B)=x라 하면 A만 방문한 학생은 17−x, B만 방문한 학생은 15−x이고, 어느 지역도 방문하지 않은 학생은 30−(32−x)=x−2입니다.
각 영역의 원소의 개수는 0 이상의 정수여야 하므로 x≥0, x−2≥0, 15−x≥0, 17−x≥0에서 2≤x≤15를 얻습니다. 구하는 값은 (17−x)+(15−x)=32−2x이므로 x=2일 때 최대 28, x=15일 때 최소 2가 되어 Mm=56입니다. ‘개수는 음수가 될 수 없다’는 조건 하나로 최대·최소가 동시에 결정되므로, 배치를 잘못 상상해 답이 어긋날 위험이 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘어느 한 지역만’은 (A−B)∪(B−A)입니다. A∪B로 잘못 읽으면 문제 자체가 달라집니다.
- n(A∩B)의 최솟값을 무조건 0으로 두지 마세요. 17+15=32가 30을 넘으므로 교집합은 최소 2입니다.
- 교집합의 최댓값은 원소가 적은 쪽의 크기인 15입니다. 17로 잡으면 B의 원소 수를 초과하게 됩니다.
- M과 m을 구한 뒤 더하지 말고 곱해야 합니다. 문제가 요구하는 것은 Mm입니다.
엄선된 풀이 영상
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