TOUGH
집합의 연산법칙
원소의 개수의 최댓값
출제의도
이 문항은 두 가지 능력을 한 번에 묻습니다. 하나는 복잡해 보이는 조건 (나)를 분배법칙으로 접어서 A∩B라는 짧은 식으로 바꾸는 연산 능력이고, 다른 하나는 그렇게 정리된 조건 아래에서 n(B−A)를 최대로 만드는 배치를 스스로 설계하는 능력입니다.
TOUGH 스텝에 놓인 이유는 ‘최댓값’을 묻는 순간 계산 문제가 최적화 문제로 바뀌기 때문입니다. n(B−A)를 키우려면 어디를 최대로, 어디를 최소로 몰아야 하는지를 벤 다이어그램의 네 영역 위에서 판단해야 합니다. 조건 (나)가 ‘A∩B가 비어 있지 않다’는 최소 제약을 걸어 둔 것이 이 문제의 함정이자 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 (나)의 좌변에 분배법칙을 적용해 보세요. A∩(Ac∪B)를 (A∩Ac)∪(A∩B)로 펼치면 앞쪽 항이 공집합이 되어 식이 극적으로 짧아집니다.
정리된 결과는 결국 ‘교집합이 비어 있지 않다’는 조건입니다. 이 말은 개수로 옮기면 n(A∩B)가 적어도 1 이상이라는 뜻이고, 최댓값을 따질 때 바로 이 1이 결정적으로 작용합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
벤 다이어그램의 네 영역을 A−B, A∩B, B−A, (A∪B)c로 나누고, 이들의 개수의 합이 n(U)=25임을 씁니다. 조건 (다)에서 A−B 자리는 11로 고정되어 있습니다.
남은 25−11=14를 나머지 세 영역이 나눠 갖습니다. B−A를 최대로 만들려면 바깥 영역을 비우고, A∩B에는 조건이 허락하는 최솟값만 남기면 됩니다. 그 최솟값이 무엇인지는 1단계에서 이미 확보했습니다.
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정답 13
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (나)를 간단히 정리하기
분배법칙에 의해 A∩(Ac∪B)=(A∩Ac)∪(A∩B)=∅∪(A∩B)=A∩B입니다. 따라서 조건 (나)는 A∩B≠∅, 즉 n(A∩B)≥1을 뜻합니다.
STEP Bn(B−A)를 최대로 만드는 배치 찾기
n(U)=25이고 n(A−B)=11이므로, n(B−A)가 최대이려면 전체집합의 원소를 A∪B 밖에 남기지 않아야 합니다. 즉 (A∪B)c=∅이어야 하고, 동시에 A∩B에는 최소 인원인 1명만 두어야 합니다.
이때 n(A)=n(A−B)+n(A∩B)=11+1=12이고 n(B)=25−11=14이므로, n(B−A)=n(B)−n(A∩B)=14−1=13이 최댓값입니다.
1등급 다른 풀이 · 부등식으로 상계를 직접 잡기
영역 배치를 상상하는 대신, 조건을 모두 부등식으로 바꾸어 한 줄로 조여 가는 방법도 있습니다. 조건 (나)에서 n(A∩B)≥1이고, 조건 (다)에서 n(A)=n(A−B)+n(A∩B)≥11+1=12입니다.
한편 A와 B−A는 서로소이면서 모두 U의 부분집합이므로 n(A)+n(B−A)≤n(U)=25, 즉 n(B−A)≤25−n(A)입니다. 여기에 n(A)≥12를 대입하면 n(B−A)≤25−12=13을 얻습니다. 등호가 실제로 성립하는 배치가 존재하므로 최댓값은 13입니다. 최댓값 문제에서 ‘상계를 먼저 증명하고, 그 값을 달성하는 예를 제시한다’는 표준 논법을 그대로 밟는 풀이라 서술형 답안으로 쓰기에 특히 깔끔합니다.
실수를 줄이는 전략
- A∩(Ac∪B)를 눈대중으로 판단하지 말고 분배법칙으로 펼치세요. A∩Ac=∅을 거치면 실수가 사라집니다.
- A∩B≠∅은 ‘원소가 0개가 아니다’입니다. 최댓값을 노린다고 n(A∩B)=0으로 두면 조건 위반입니다.
- n(A−B)=11은 n(A)=11이 아닙니다. A는 A−B와 A∩B로 쪼개진다는 점을 항상 분리해서 쓰세요.
- 바깥 영역 (A∪B)c를 잊고 25를 세 영역에만 배분하면 최댓값이 어긋납니다. 네 영역을 모두 그려 놓고 시작하세요.
엄선된 풀이 영상
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