TOUGH
합집합의 원소의 개수
한 쪽만 이용하는 원소
출제의도
이 문항은 조사 대상이 남자와 여자로 한 번, 은행 A와 은행 B로 또 한 번, 이렇게 두 갈래로 동시에 나뉘는 상황을 다룹니다. 표면적으로는 원소의 개수 공식 하나면 끝날 것 같지만, 실제로 묻는 값은 ‘여자이면서 두 은행을 모두 이용하는’ 교집합 안의 일부입니다. 전체 집합의 크기와 성별 분류를 어떻게 연결하는지가 핵심입니다.
TOUGH 스텝에 놓인 이유는 조건 (나)를 수식으로 옮기는 자리에서 막히는 학생이 많기 때문입니다. ‘한 은행만 이용하는 고객’이 n(A∪B)−n(A∩B)라는 사실을 먼저 확보하고, 그 값을 남녀로 반씩 쪼개는 흐름을 스스로 설계할 수 있어야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조사 대상은 ‘은행 A 또는 은행 B를 이용하는 고객’입니다. 남자 35명과 여자 30명을 합한 65명이 곧 A∪B의 원소의 개수라는 점을 먼저 확정하세요. 여기서 시작하지 않으면 조건 (가)를 쓸 자리가 생기지 않습니다.
조건 (가)는 n(A)+n(B)를 알려 줍니다. n(A∪B)를 이미 알고 있으므로 합집합의 원소의 개수 공식에서 곧바로 교집합의 크기가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
‘두 은행 중 한 은행만 이용하는 고객’의 집합은 (A−B)∪(B−A)이고, 그 원소의 개수는 n(A∪B)−n(A∩B)입니다. 이 값을 먼저 구하세요.
조건 (나)에서 그 인원이 남자와 여자로 정확히 반씩 나뉩니다. 한 은행만 이용하는 여자의 수를 얻었다면, 여자 전체 30명에서 그 수를 빼는 것으로 답이 나옵니다. 구하는 대상이 ‘여자 중 교집합에 속한 인원’임을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ② 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 집합으로 옮기고 교집합의 크기 구하기
은행 A를 이용하는 고객의 집합을 A, 은행 B를 이용하는 고객의 집합을 B라 하면 조사한 고객이 남자 35명과 여자 30명을 합해 65명이므로 n(A∪B)=65입니다. 조건 (가)에서 n(A)+n(B)=82이므로 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)에서 65=82−n(A∩B), 즉 n(A∩B)=17입니다.
STEP B한 은행만 이용하는 인원을 남녀로 나누기
한 은행만 이용하는 고객 수는 n(A∪B)−n(A∩B)=65−17=48입니다. 조건 (나)에서 이 48명이 남자와 여자로 같은 수만큼 나뉘므로 한 은행만 이용하는 여자 고객은 48÷2=24명입니다. 따라서 여자 고객 30명 중 두 은행을 모두 이용하는 여자 고객의 수는 30−24=6입니다.
1등급 다른 풀이 · 한 은행만 이용하는 인원을 x로 두기
조건 (나)가 ‘같다’라고만 말하므로, 그 공통값을 처음부터 x로 잡는 접근도 자연스럽습니다. 한 은행만 이용하는 남자 고객 수와 여자 고객 수를 모두 x라 하면, 두 은행을 모두 이용하는 남자는 35−x, 여자는 30−x입니다.
여기서 n(A)+n(B)는 한 은행만 이용하는 사람은 한 번, 두 은행을 모두 이용하는 사람은 두 번 세는 값이라는 점이 열쇠입니다. 조건 (가)를 {x+2(35−x)}+{x+2(30−x)}=82로 쓰면 130−2x=82에서 x=24가 나오고, 구하는 값은 30−24=6입니다. 합집합 공식을 거치지 않고 ‘중복해서 세어지는 횟수’만으로 밀고 나가는 풀이여서, 세 집합 문제로 확장될 때 특히 강한 무기가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 조사 대상 65명은 전체집합이 아니라 A∪B입니다. n(U)로 착각하면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- n(A)+n(B)=82를 n(A∪B)로 오해하지 마세요. 82는 교집합을 두 번 센 값입니다.
- 한 은행만 이용하는 고객 수는 n(A∪B)−n(A∩B)입니다. n(A∪B)−n(A) 같은 부분집합 개수와 혼동하지 마세요.
- 마지막에 묻는 것은 ‘모두 이용하는 여자’입니다. 24를 그대로 답으로 쓰지 말고 30에서 빼는 단계를 반드시 거치세요.
엄선된 풀이 영상
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